(x^{2}-2x+2)^{2}-m(x^{2}-2x+2)+3=0 има 4 разл. реални

[MaMyT]

Намерете стойностите на реалния пар. m за които уравнението

[tex](x^{2}-2x+2)^{2}-m(x^{2}-2x+2)+3=0[/tex] има 4 разл. реални корена

Za da ima 4 realni razli4ni korena izhodnoto ur. to trqbva negovata Diskriminanta da e po-golqma ot 0 kakto i diskriminantata na [tex]x^{2}-2x+2[/tex] da e po golqma ot 0 za da ima 2 korena kato

polagame [tex]x^{2}-2x+2=t[/tex] [tex];f(x)=x^{2}-2x+2 =t>0[/tex] za vs. X za da ima tova t 2 korena to trqbva diskriminantata da e >0 [tex]x^{2}-2x+(2-t)=0[/tex] [tex]D= 4-4(2-t)>;4-8+4t>0 ; 4t>4 => t>1[/tex] i o6te ne6to ot tuk sledva 4e 6tom dvata korena sa po -golemi ot 1 to [tex]t_{1}+t_{2}=\frac{-b}{a }[/tex]=m>0 i drugoto uslovie D na izhodnoto uravnenie = [tex]m^{2}-12>0 => m \in(-\infty;-2\sqrt{3})\cup(2\sqrt{3}+\infty)[/tex] i ot obedinenieto sledva,4e [tex]m\in({2\sqrt{3};\infty})[/tex]

[dweer]

незнам дали решението ми е правилно , но идеята ми е следната ..
[tex]x^{2} - 2x + 2 - t[/tex] D>0 => t > 1
след като положиш , изискваш да имаш 2 корена > 1 .. от тук съставяш системата D>0 -b/2a > 1 и f(1) > 0
от където получаваш
[tex]m \in ( - \infty ; - 2\sqrt{3}) \cup ( 2\sqrt{3} ; + \infty )[/tex]
m > 2
m < 4
краен резултат [tex]m \in (2\sqrt{3} ; 4 )[/tex]

[MaMyT]

da tova e otgovorut samo 4e ne razbrah za6to iziskva6 f(1)>0

[martosss]

Дотук си намерил, че t>1, за това ще се хвана
Наистина имаш D?0 => [tex]m\in (-oo\: ;\: -2\sqrt 3)\cup (2\sqrt 3\: ;\: +oo)[/tex]
Дотук добре.

Това, което изпускаш, е, че m>0 не е достатъчно условие, за да може t?-mt+3=0 да има два корена, по-големи от 1.
Например при м=8 имаме t?-8t+3=0 => D=16-3=13 => [tex]t=4\pm\sqrt {13}[/tex], и единият корен е по-малък от 1!
Фактически и проста проверка би показала, че отговорът ти не е верен Просто заместваш м с някое число, което според теб не е решение, а според отговора е решение. Ако нямаш отговор за по-голяма сигурност можеш да пробваш няколко различни числа, примерно м=5, м=15, м=-10, м=0 и така докато ти омръзне или се увериш, че решението ти е вярно. Ако получиш грешка локо, това означава, че или отговорът е сбъркан, или ти грешиш, в случая второто.

При теб проблемът е, че ограничението ти за м м>0 не е достатъчно. Може това ограничение да е изпълнено и въпреки това да имаш корен, по-малък от 1.

За да имаш два корена, по-големи от 1, то ти трябва ako f(t)=t?-mt+3, тo ти трябва да са в сила две уравнения - f(1)>0 u m/2>1.
От тях имаш 1?-m+3>0 => m<4
u m/2>1 => m>2
Освен това [tex]2\sqrt 3\approx 3.4[/tex], тогава имаш, че [tex]\fbox{m\in (2\sqrt 3\: ;\: 4)}[/tex] и това е окончателният отговор.

Сега е логично да попиташ откъде дойдоха тези две уравнения за м.
Те идват от графичното представяне на функцията, в случая това е парабола, която пресича абсцисата в две точки - корените на у-ето. За да може и двата корена да са по-големи от 1, то трябва 1 да е по-наляво от двата корена, тоест да имаме 1<x1<X2. Понеже коефициентът пред х? e +, то параболата ще отива нагоре към безкрайността, ще е с "рогата нагоре", тоест наляво от х1 и надясно от х2 ще придобива положителни стойности(ще е над абсцисната ос), а между двата корена функцията ще придобива стойности, по-малки от 0(под абсцисната ос).
Тоест f(1)>0.
Сега ако 1 е между двата корена това няма да е вярно. Ако съвпада с корените също няма да е вярно. Лошото е, че ако 1 е по-голямо и от двата корена това ще е вярно, тоест ако имаме x1<x2<1. Затова ни трябва второ уравнение, с което да застопорим единицата да е по-малка от двата корена. Затова използваме върха на параболата, който е при [tex]\frac{-b}{2a}[/tex], в случая при [tex]\frac{m}{2}[/tex].
Ако върхът на параболата е по-голям от 1, то и двата корена ще са по-големи от 1, а ако е по-малък от 1 - и двата корена ще са по-малки от 1.
Затова са ни и тези две допълнителни уравнения - за да се уверим, че двата корена са по-малки от дадено число.

Надявам се да си ме разбрал, ако не си пиши за по-ясно обяснение.

[dweer]

тъкмо тръгнах да пиша обеснение Иначе обеснението на martosss е супер

[MaMyT]

fakti4eski iska6 da miakje6 4e ako za da sme sig 4e 1 e nalqvo ot trqbva da izpolzvame ordinatnata os kato sravnenie smisly [tex]f(1)>f(-b/2a)[/tex] ,smisul vednuj dokazao trqbva sega samo da dokajem v kakva posokosa se namira dunoto na grafikata dali e nalqvo ili nadqsno ot 1

[martosss]

Ето какво се опитвам да кажа, но одеве не можех да начертая снимка.

На графиката имаме два корена - x1 u x2, при които стойността на функцията при тази стойности е 0.
При 1 стойността на f(x) съм ти я означил - това е точката върху графиката, чиято абсциса е 1. Ординатата на тази точка е всъщност стойността на функцията при 1. По същия начин ординатата при х1 и при х2 е 0, понеже графиката при тези точки пресича абсцисата, следователно [tex]f(x_1)=0\: u\: f(x_2)=0[/tex]
Продължаваме нататък - [tex]-\frac{b}{2a}[/tex] е стойността, при която квадратната функция придобива най-малка или най-голяма стойност(в зависимост дали знакът пред х? е съответно + или -) и е винаги между двата корена. Чрез него определяме позицията на 1 спрямо двата корена - дали 1 е надясно или наляво спрямо тях, а с f(1)><1 определяме дали 1 е между или извън двата корена. Така като направим система от двете неравенства може да орпеделим къде е 1 спрямо х1, х2 и -б/2а.
Сега вече изясниха ли се нещата?