Стереометрично предизвикателство :D

[MaMyT]

От известно време се опитвам да напиша някакво скопосано решение на следната задача:

За триъгълна пирамида ABCD е дадено,че [tex]AB\bot CD[/tex],[tex]AC\bot BD[/tex] и AD=BC.Сфера с радиус r се допира до всички ръбове на пирамидата.Да се намери обемът на пирамидата.

п.п Благодаря предварително за каквото ида било решение,дори нещо нахвърляно пак става .В моето решение работите се въртят около 8 пирамидки,които съставят голямата пирамида,но не знам как да докажа,че например други два срещуположни ръба са равни-това би било до скопосано решение на задачата

[ganka simeonova]

Никакви 8 пирамидки
Просто докажи, че тетраедърът е правилен и че центърът на тази сфера съвпада с c центъра на описаната сфера
Отг: [tex]V=\frac{8}{3 } r^3[/tex]

[MaMyT]

хах,така нещата биха изглеждали по-добре.Благодаря за отговора

[ganka simeonova]

Искаш ли пълно решение?

[MaMyT]

Не,благодаря,но все пак този коефициент 8 не ви ли говори нещо ...... идеята с 8те пирамидки важи в пълна сила,само ми трябваше това,което вие написахте.Аз се опитвах да го докажа,но по друг начин,смисъл не съм се замислял,че центъра на описанта и на вписаната окръжност в правилен тетраедър съвапдат ,и че центърът се проектира на едно и също място върху всяка една от 4те стени.Фактически [tex]\frac{r^{3}}{3 }[/tex] е обемът на всяка една от осемте пирамидки,ако исакте ще ви сложа чертеж ,в който ще видите ,че има нещо вярно в пирамидките

[ganka simeonova]

Ще ми е интересно да видя разсъждението ти. После, ако искаш, ще ти напиша и своето решение

[MaMyT]

Сорка,че ви натоварвам с подобен чертеж,макар и правен от мен,дори и на мен ми е трудно да ви го разгадая ,но ще опитам да ви го опиша в 2 стъпки и какво ,може би, трябваше да използвам.като начало преди време в една задача имаше нещо такова като условие:"Докажете,че ако Върхът на триъгълна пирамида се проектира ортогонално върху основата(ABC да речем ) ,и по-точно върху ортоцентъра,то [tex]AB\bot CD,AC\bot BD,AD\bot BC[/tex] (където D е върхът на пирамидата),и че сборът на квадратите на тези две двойки 2 по 2 е равен на другите ([tex]AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}[/tex]...,но както и да е) и може би ако бях използвал това по-рано щях да си спестя времето.ТА!Аз започнах по следния начин-Щом окръжността се допира до всички ръбове Чертеж 1 ,то следва,че във всяка стена може да се впише окръжност(като част от сферата)Фактически ръбовете се явяват като допирателни и от тук (и след акто сме доказали.че АБЦД е правилен тетраедър) можем да намерим омебът на една от пирамидите измежду Чертеж 2 ,а те са ANLK.CNMQ,MLBP,DKQP,NMQO,NQOK,KOQP,MQPO,НАДЯВАМ се ,че разпознавате фигурите по чертежите.И вече от тук не е трудна да се намери обемът на една от пирамидите,не че в момента знам как ,но все пак ...... ама знам,че трябва да е равно на [tex]r^{3}/3[/tex]

[ganka simeonova]

Браво, наистина:)
Като използваш, че тетраедърът е ортоцентричен, фактът че сборът от квадратите на двойка срещуположни ръбове е const и [tex]AD=BC[/tex] и че съществува сфера, допираща се до всички ръбове, сравнително лесно се доказва, че е правилен.
Помисли си пак, но ако искаш мога да ти пусна чертеж:)
А иначе, браво, за разсъжденията ти:)

[MaMyT]

Помислих-пуснете

[ganka simeonova]

ОК Почвам.

[ganka simeonova]

От това, което си написал=> равенство на отсечките с еднакъв цвят:)
[tex]a+b=c+d[/tex]; [tex](b+d)^2+(a+c)^2= (b+c)^2+(a+d)^2=(a+b)^2+(c+d)^2[/tex]=>[tex]a=b; c=d=>a=b=c=d=>ABCD[/tex]- правилен тетраедър. (от всеки връх излизат по три рвани отсечки)

Тогава, ако означим [tex]AD=x=>AH=\frac{x\sqrt{3} }{ 3}=>HD=\frac{x\sqrt{6} }{ 3} =>OD=R=\frac{AD^2}{ 2HD} =\frac{3x}{2\sqrt{6} }[/tex]

[tex]\Delta AOP: OP^2=r^2=AO^2-AP^2=R^2-\frac{x^2}{4 } =>x=2\sqrt{2} r[/tex]

[tex]DH=\frac{4r\sqrt{3} }{3 } ; S_{ABC}=\frac{x^2\sqrt{3} }{ 4} =\frac{8r^2\sqrt{3} }{4 } =>V=\frac{8r^3}{3 }[/tex]

[MaMyT]

А защо [tex]OD=\frac{AD^{2}}{2HD }[/tex] ,смисъл не схващам от къде се получава равенството

[ganka simeonova]

Ако пирамида е с равни околни ръбове, които имат дължина l и височината на пирамидата е h, то радиусът на описаната сфера е [tex]R=\frac{l^2}{ 2h}[/tex]

[MaMyT]

Мхм,ок

[ganka simeonova]

Порових се малко и в стария форум, защото се сетих, че някога съм пускала задача, относно тетраедър, на който сборовете на срещуположните двойки ръбове са равни помежду си

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic ... ght=#71236

[MaMyT]

а да ви попитам,макар и може би офтопик,ако на изпит решим да използваме някакво с-во за специфична фигура...например в остръг. триъгълник [tex]AH=2R.cos\alpha[/tex] ([tex]\alpha[/tex] -върхът при A и R-радиус на описанта сфера) или както вие написахте [tex]l^{2}=2R.h[/tex] трябва ли да го доказваме от това на чертежа или просто го прилагаме?

[ganka simeonova]

Оххх, май всеки ВУЗ си е отделна губерния
Не се наемам, да ти отговоря. Но и двете док са лесни.

[MaMyT]

Ами по-конкретно СУ?Абе..... може и да е лесно ама да тръгна да доакзвам Ойлерова ф-ла ... не мисля,че ще успея ако трябва да съм честен.Дори в момента се колебая какво гласеше ... [tex]OI^{2}=R^{2}-2Rr[/tex](би трябвало да е нещо такова понеже се сещам,че когато OI се получаваше 0,а то ставаше когато R=2r центъра на описаната и вписаната окръжност съвпада и фактически триъгълникът става равностранен)

[ganka simeonova]

В СУ, можеш.
Там май можеш почти всичко да ползваш:)
Гледам и мартоссс е на линия,той да каже също

[martosss]

Аз гледам по-сложните такива формули да не ги използвам, а когато се налага по възможност да си ги докажа Може и да пробваш да го пишеш без доказателство, но не е ясно на кого ще попаднеш, затова най-добре си го докажи, тогава не могат и запетя да ти кажат

[MasterZ]

бях пуснал същата задача преди време