неравенства(КСК на СУ)

[prodanov]

Задачата е от тази година, 31 март.

Задача 5. Да се реши неравенството x ?3? 3x ? 5 ? 0.

[tex]x-3- sqrt{3x-5} \le 0;[/tex]
[tex]x\ge \frac{5}{3 }[/tex]

[tex]x-3 \le sqrt{3x-5}[/tex]
//[tex]x\ge 3[/tex]
//повдигаме на втора степен

[tex](x-3)^2 \le 3x - 5[/tex]

[tex]x^2 - 6x + 9 \le 3x - 5[/tex]

[tex]x^2 - 9x + 14 \le 0[/tex]


[tex]D=b^2 - 4.ac[/tex]

[tex]D=81-64 = 25; sqrt{D} = 5[/tex]

[tex]x1/2 =\frac{ 9 \pm 5\frac}{2 }[/tex]

[tex]x1=7[/tex]

[tex]x2=2[/tex]


[tex]x\in [2 ; 7][/tex]


В решението от СУ е решено по абсолютно същият начин, но накрая добавено:

Окончателно [tex]x\in [\frac{5}{3 } ; 7][/tex]

Защо?!?

Ако заместим x с [tex]\frac{5}{ 3}[/tex] в [tex]x^2 - 9x + 14 \le 0[/tex] се получава 16/9 ,което е [tex]\ge 0[/tex]. Моля някой да разясни защо така става.

[Martin Nikovski]

Как се решава ирационално неравенство? Не е достатъчно просто да приемеш, че и двете страни са неотрицателни числа - тогава решението не е пълно.
[tex]x-3-\sqrt{3x-5}\le 0[/tex]
[tex]x-3\le \sqrt{3x-5}[/tex]
Едното от условията, разбира се, винаги е [tex]3x-5\ge 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\ge \frac{5}{3 }[/tex]
Знаем, че дясната страна винаги е неотрицателна (при [tex]x\ge \frac{5}{3 }[/tex]).
За лявата страна ([tex]x-3[/tex]) обаче имаме две възможности - или да е [tex]<0[/tex], или да е [tex]\ge 0[/tex].
Изразяваме това чрез две системи:
[tex]\begin{tabular}{|l}x-3<0\\3x-5\ge 0 \end{tabular}[/tex] и [tex]\begin{tabular}{|l}x-3\ge 0\\3x-5\ge 0 \\ (x-3)^2\le (\sqrt{3x-5})^2 \end{tabular}[/tex]

За първата система (това, което си пропуснал): Щом [tex]x-3<0[/tex], то първоначалното неравенство [tex]x-3\le \sqrt{3x-5}[/tex] е изпълнено за всяко [tex]x[/tex], изпълняващо условията от системата (лявата страна е [tex]<0[/tex], а дясната е [tex]\ge 0[/tex], значи лявата е със сигурност по-малка от дясната, каквото е и неравенството). Нямаме право да вдигаме неравенството на втора степен, защото лявата страна е [tex]<0[/tex].
[tex]\begin{tabular}{|l}x-3<0\\3x-5\ge 0 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x<3\\x\ge \frac{5}{3 } \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\in [\frac{5}{3 };3)[/tex] -това е едната част от решението.

За втората система: [tex]\begin{tabular}{|l}x-3\ge 0\\3x-5\ge 0 \\ (x-3)^2=(\sqrt{3x-5})^2 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x\ge 3\\x\ge \frac{5}{3 } \\ x^2-6x+9\le 3x-5 \end{tabular}[/tex]
[tex]x^2-9x+14\le 0[/tex]
[tex]D=9^2-4.14=81-56=25[/tex]
[tex]x_1=\frac{9+5}{2 } =7[/tex], [tex]x_2=\frac{9-5}{2 }=2[/tex]
[tex]x\in [2;7][/tex]
Намираме сечението на интервалите ([tex]x\ge 3[/tex], [tex]x\ge \frac{5}{3 }[/tex] и [tex]x\in [2;7][/tex])и получаваме [tex]x\in [3;7][/tex] за втората система.
За да получим окончателното решение, обединяваме решенията от двете системи:
[tex]x\in [\frac{5}{3 };3)[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]x\in [3;7][/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\in [\frac{5}{3};7][/tex]
Ако искаш да заместиш с числото [tex]\frac{5}{3 }[/tex], няма да го заместваш в полученото неравенство ([tex]x^2-9x+14\le 0[/tex]), тъй като то е валидно само за случаите, когато [tex]x-3\ge 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\ge 3[/tex] (втората система). Това число е от интервала [tex]x\le 3[/tex], т.е. от първата система.
Можеш да го заместиш в първоначалното неравенство: [tex]x-3- \sqrt{3x-5}\le 0[/tex]
[tex]\frac{5}{3 }-3-\sqrt{\cancel3.\frac{5}{\cancel3 }-5 } =-\frac{4}{3 }-\sqrt{0}=-\frac{4}{3 }[/tex] (неравенството е вярно).

[prodanov]

Мерси!

[baroveca]

Аз пък го решавам както проданов, само че накрая засичам с ДС

[allier]

Не е правилно да го решаваш като проданов. Единственият верен начин е на Мартин Н.

[prodanov]

Стигнах и до този урок и сега получавам отговора. Решението ми е малко по-различно от това на Мартин. Ползвам системките по следния начин, а те се различават от начина на Мартин, въпреки че отговора е един и същ.

I.Урац. уравнения от първи вид:
I.1)
[tex]sqrt{f(x)} < g(x)[/tex]

Решение:
[tex]\begin{tabular}{|l} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < {g(x)}^2 \end{tabular}[/tex]


I.2)
[tex]sqrt{f(x)} \le g(x)[/tex]

Решение:
[tex]\begin{tabular}{|l} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le {g(x)}^2 \end{tabular}[/tex]

II.Ирац. уравнения от втори вид:
II.1)
[tex]sqrt{f(x)} > g(x)[/tex]

Решение:
[tex]\begin{tabular}{|l} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{tabular} \cup \begin{tabular}{|l} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g(x)^2 \end{tabular}[/tex]

II.2)
[tex]sqrt{f(x)} \ge g(x)[/tex]

Решение:
[tex]\begin{tabular}{|l} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{tabular} \cup \begin{tabular}{|l} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge g(x)^2 \end{tabular}[/tex]


Въпрос 1: Правилно ли ги прилагам?
Въпрос 2: Защо II.2) се различава от тази на Мартин, коя да ползвам?

[ganka simeonova]

Птравилно ги прилагаш. В решението си във втората система Мaртин още веднъж слага условието
[tex]3x-5\ge 0[/tex], което разбира се не е грешно, но е излишно.
Затова се "различават"

[Martin Nikovski]

Да... така е, достатъчно е [tex]x-3\ge 0[/tex] и [tex](x-3)^2\le (\sqrt{3x-5})^2[/tex]
П.П. Сега видях, че малко по-надолу съм написал един знак [tex]=[/tex]... да се чете като [tex]\le[/tex], тъй като вече не мога да променям поста си...