Решете логаритмичното уравнение

[Гост]

Log[tex]_{3 }[/tex]([tex]x^{3 }[/tex]-5[tex]x^{2 }[/tex]+4x+9)=2

[mail_dinko]

[tex]log _{3 } (x^{3 } -5 x^{2 }+4x+9)=2[/tex]
[tex]log _{3 } (x^{3 } -5 x^{2 }+4x+9)=log _ {3} 3^2[/tex]
[tex]x^{3 } -5 x^{2 }+4x+9= 3^2[/tex]
[tex]x^{3 } -5 x^{2 }+4x= 0[/tex]
[tex]x( x^{2 } -5 x+4)= 0[/tex]
[tex]D= 25-16= 9[/tex]
[tex]x_1= 0 \in DM[/tex]
[tex]x_2= 4\in DM[/tex]
[tex]x_3= 1\in DM[/tex]
DM:
[tex]x^3 - 5x^2 +4x+9 >0[/tex]
С wolfram alpha като се реши се вижда, че и трите са решения

[ammornil]

Log[tex]{3 }[/tex]([tex]x^{3 }[/tex]-5[tex]x^{2 }[/tex]+4x+9)=2

[tex]log_{_{3}}(x^{3}-5x^{2}+4x+9)=2[/tex]
[tex]DM: x^{3}-5x^{2}+4x+9>0[/tex]
Може да се опитаме да намерим решенията на това неравенство, чрез умопомрачителни разлагания или формула на Кардано, но аз предпочитам да го оставя така, и да проверя дали намерените по-долу решения удовлетворяват това ограничение.(от графиката на функцията [tex]f(x)=x^{3}-5x^{2}+4x+9[/tex] се вижда, че тя приема стойност нула само веднъж, след което всички стойности на функцията са положителни)

[tex]log_{_{3}}(x^{3}-5x^{2}+4x+9)=2 \Leftrightarrow x^{3}-5x^{2}+4x+9=3^{2} \Leftrightarrow x^{3}-5x^{2}+4x =0 \Leftrightarrow x(x-1)(x-4)=0[/tex]

Проверяваме всеки х дали удовлетворява DM
[tex]x_{_{1}}=0 \in DM \Rightarrow[/tex] е решение.
[tex]x_{_{2}}=1 \in DM \Rightarrow[/tex] е решение.
[tex]x_{_{3}}=4 \in DM \Rightarrow[/tex] е решение.
[tex][/tex]