Решете логаритмичното уравнение

[Гост]

20211105_114131.jpg (17.26 KiB) Прегледано 428 пъти

[ammornil]

[tex](log_{_{2}}x)^{3}-4.(log_{_{2}}x)^{2}+3.(log_{_{2}}x)=0[/tex]

[tex]Dx: x>0 \Rightarrow x\in(0;+ \infty )[/tex]

[tex]log_{_{2}}x = u, Du: \forall u \in R, \Rightarrow x=2^{u}[/tex]

[tex]u^{3}-4u^{2}+3u=0 \Leftrightarrow u(u^{2}-4u+3)=0[/tex]

Разлагаме израза в скобите: [tex]u^{2}-4u+3 \rightarrow D=(-2)^{2}-1.3=4-3=1 \rightarrow u_{_{2,3}}=\frac{2\pm1}{1} \begin{cases} u_{_{2}}=1 \\ u_{_{3}}=3 \end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow u(u-1)(u-3)=0 \Rightarrow \begin{cases} u_{_{1}}=0 \in Du \\u_{_{2}}=1 \in Du \\ u_{_{3}}=3 \in Du \end{cases}[/tex]

[tex]x_{_{1}}=2^{u_{_{1}}} \Rightarrow x_{_{1}}=2^{0}=1 \in Dx \Rightarrow[/tex] е решение.
[tex]x_{_{2}}=2^{u_{_{2}}} \Rightarrow x_{_{2}}=2^{1}=2 \in Dx \Rightarrow[/tex] е решение.
[tex]x_{_{3}}=2^{u_{_{3}}} \Rightarrow x_{_{3}}=2^{3}=8 \in Dx \Rightarrow[/tex] е решение.