Решете логаритмичното уравнение

[Гост]

20211105_114537.jpg (11.66 KiB) Прегледано 402 пъти

[ammornil]

[tex]\frac{log_{_{2}}(x)}{log_{_{2}}(x) -2}-\frac{1}{log_{_{2}}(x) +1}=1[/tex]

[tex]Dx: \begin{array}{|l} x>0 \\ log_{_{2}}(x)-2\ne0 \\ log_{_{2}}(x)+1\ne 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x>0 \\ log_{_{2}}(x)\ne2 \\ log_{_{2}}(x)\ne -1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x>0 \\ x\ne1 \\ x\ne\frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow x \in \left(0;\frac{1}{2} \right) \cup \left(\frac{1}{2};1 \right) \cup \left(1;+ \infty \right)[/tex]

Полагаме [tex]log_{_{2}}(x)=u, Du: \forall u \in R, \Rightarrow x=2^{u}[/tex]

[tex]\frac{u}{u -2}-\frac{1}{u+1}=1 \Leftrightarrow u.(u+1)-1.(u-2)=1.(u-2).(u+1) \Leftrightarrow \cancel{u^{2}}\cancel{+u}\cancel{-u}+2=\cancel{u^{2}}+u-2u-2 \Leftrightarrow 2=-u-2 \Leftrightarrow u=-4 \in Du[/tex]

[tex]x=2^{u} \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16} \in Dx \Rightarrow[/tex] е решение.

За сведение, намереното решение е в интервала на допустимите стойности, защото [tex]0 < \frac{1}{16} <\frac{1}{2}[/tex], тоест лежи в първия интервал от дефиниционното множество за х.