Изследване на функция

[Гост]

Да се изследва изменението на функциятя
a) f(x) = x³ - 3x² + 6x - 2

b) f (x) = [tex]\frac{x - 5 }{x-4}[/tex]

[ammornil]

(a)[tex]f(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2[/tex]

[tex]DM: \forall x \in R[/tex]

[tex]f'(x)=3x^{2}-6x+6=3(x^{2}-2x+2)[/tex]
[tex]f''(x)=6x-6=6(x-1)[/tex]

Съгласно теорията...

Ако функцията има локални екстремуми, те ще са там където първата й произодна е нула (допирателната в тези точки е успоредна на абсцисата).

Ако втората производна на функцията, за [tex]x[/tex] където първата производна е нула, има положителна стойност, то функцията има локален минимум.
Ако втората производна на функцията, за [tex]x[/tex] където първата производна е нула, има отрицателна стойност, то функцията има локален максимум.
Ако втората производна на функцията, за [tex]x[/tex] където първата производна е нула, има стойност нула, функцията сменя знака си (пресича абсцисната ос) но запазва характера на изменението си. Такава точка се нарича "инфлексна".

Когато се движим по графиката на функцията от ляво на дясно ([tex]x[/tex] нараства с положителни стъпки), то:
(1) ако вървим към локален минимум, стойността на функцията намалява с нарастването на [tex]x[/tex].
(2) ако вървим към локален максимум, стойността на функцията расте с нарастването на [tex]x[/tex].

Околности на точка от графиката на функция са безкрайно малки отклонения в стойността на [tex]x[/tex], за които може да се намери стойността на [tex]f(x)[/tex]. Поведението на функцията в околностите на точка се определя от стойността на първата производна на функцията в тази точка.
(1) ако [tex]f'(x)>0[/tex] то на ляво от [tex]x[/tex] функцията намалява, а надясно - расте. Казваме, че функцията е растяща в околностите на [tex]x[/tex], с други думи с наравстване на [tex]x[/tex] нараства и [tex]f(x)[/tex].
(2) ако [tex]f'(x)< 0[/tex] то на ляво от [tex]x[/tex] функцията расте, а надясно - намалява. Казваме, че функцията е намаляваща в околностите на [tex]x[/tex], с други думи с наравстване на [tex]x[/tex], [tex]f(x)[/tex] намалява.
(3) вече казахме, че ако [tex]f'(x)= 0[/tex] тогава имаме локален ексремум.
(3а) ако локалният екстремум е максимум, то в ляво от него функцията е растяща, а в дясно от него е намаляваща.
(3б) ако локалният екстремум е минимум, то в ляво от него функцията е намаляваща, а в дясно от него е растяща.

В околностите на локален екстремум функцията няма еднороден ход на изменение, което е смисълът на локалния екстремум- гранична точка, след която функцията променя характера на изменението си.

В околностите на инфлексия функцията запазва характера на своето изменение, но променя знака на стойностите си.

край на теорията

В нашия случай, първата производна не приема стойност нула никъде, следователно дадената функция няма локални екстремуми.
Втората производна в [tex]x=1[/tex] е [tex]f''(1)=6.1-6=0[/tex], но в тази точка първата производна не е нула, следователно не е точката на инфлексия.
Точката на инфлексия е в [tex]y=0 \Rightarrow x \approx 0,404[/tex].

[tex]\lim_{x \to - \infty }(x^{3}-3x^{2}+6x-2)= \lim_{x \to - \infty }\left(x^{3}(1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}})\right)=...=(- \infty)^{3}(1+0+0+0)=- \infty[/tex] (лявата страна на графиката на функцията отива към безкрайност в IV квадрант)
[tex]\lim_{x \to \infty }(x^{3}-3x^{2}+6x-2)= \lim_{x \to \infty }\left(x^{3}(1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}})\right)=...=(\infty)^{3}(1-0+0-0)= \infty[/tex] (дясната страна на графиката на функцията отива към безкрайност в I квадрант)

За да построим графиката, използваме някои специални точки: [tex]x=0[/tex],[tex]y=0[/tex], локални екстремуми (ако има такива). Обикновено чертаем таблица с няколко точки от графиката на функцията, колкото повече точки, толкова по-точна ще е графиката.
[tex][/tex]

[ammornil]

[tex]f(x)=\frac{x-5}{x-4}[/tex]
[tex]DM: x-4\ne 0 \Leftrightarrow x\ne4 \Rightarrow x \in (- \infty; 4) \cup (4;+ \infty )[/tex]
Понеже х не може да приема стойност 4, графиката никога не пресича правата х=4. Такава права се нарича вертикална асимптота на функцията.

За да намерим поведението на графиката, търсим границите на функцията в околностите на тази точка. Нека [tex]\epsilon[/tex] е число което клони към нула, но е положително.
[tex]\lim_{x \to 4- \epsilon }\left( \frac{x-5}{x-4} \right)=...=\frac{4- \epsilon -5}{4- \epsilon -4}=\frac{-1- \epsilon }{- \epsilon } \rightarrow + \infty[/tex]. Понеже [tex]\epsilon[/tex] клони към нула, едно делено на [tex]\epsilon[/tex] клони към безкрайност. Понеже и числителят, и знаменателят са отрицателни, безкрайността е със знак плюс. Това, значи, че когато х наближава стойност 4 отляво (остава по-малко от 4), графиката на функцията отива към плюс безкрайност.

[tex]\lim_{x \to 4+ \epsilon }\left( \frac{x-5}{x-4} \right)=...=\frac{4+ \epsilon -5}{4+ \epsilon -4}=\frac{-1+ \epsilon }{+ \epsilon } \rightarrow - \infty[/tex]. Понеже [tex]\epsilon[/tex] клони към нула, едно делено на [tex]\epsilon[/tex] клони към безкрайност. Понеже числителят е отрицателен, а знаменателят е положителен, безкрайността е със знак минус. Това, значи, че когато х наближава стойност 4 отляво (остава по-малко от 4), графиката на функцията отива към минус безкрайност.

[tex]f'(x)=\frac{(x-5)'.(x-4)-(x-4)'.(x-5)}{(x-4)^{2}}=\frac{1.(x-4)-1.(x-5)}{(x-4)^{2}}=\frac{x-4-x+5}{(x-4)^{2}}=\frac{1}{(x-4)^{2}}[/tex].
Понеже и числителят, и знаменателят, са винаги положителни, значи първата производна е винаги положителна. Това означава, че тя не приема стойност нула, следователно графиката на функцията няма локални екстремуми.

[tex]\lim_{x \to - \infty }\left( \frac{x-5}{x-4} \right) =\lim_{x \to - \infty}\left( \frac{x\left(1-\frac{5}{x}\right)}{x\left(1-\frac{4}{x}\right)} \right)=...=\frac{1+0}{1+0}=1[/tex], следователно когато х клони към минус безкрайност, графиката на функцията ще се среми към правата у=1.
[tex]\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x-5}{x-4} \right) =\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x\left(1-\frac{5}{x}\right)}{x\left(1-\frac{4}{x}\right)} \right)=...=\frac{1-0}{1-0}=1[/tex], следователно когато х клони към плюс безкрайност, графиката на функцията ще се среми към правата у=1.
Понеже функцията се стреми към правата у=1, но никога не я достига, тази права се нарича хоризонтална асимптота на функцията.
[tex][/tex]

[ammornil]

[tex]\lim_{x \to 4+ \epsilon }\left( \frac{x-5}{x-4} \right)=...=\frac{4+ \epsilon -5}{4+ \epsilon -4}=\frac{-1+ \epsilon }{+ \epsilon } \rightarrow - \infty[/tex]. Понеже [tex]\epsilon[/tex] клони към нула, едно делено на [tex]\epsilon[/tex] клони към безкрайност. Понеже числителят е отрицателен, а знаменателят е положителен, безкрайността е със знак минус. Това, значи, че когато х наближава стойност 4 отляво (остава по-малко от 4), графиката на функцията отива към минус безкрайност.

Една корекция на Copy-Paste:
[tex]\lim_{x \to 4+ \epsilon }\left( \frac{x-5}{x-4} \right)=...=\frac{4+ \epsilon -5}{4+ \epsilon -4}=\frac{-1+ \epsilon }{+ \epsilon } \rightarrow - \infty[/tex]. Понеже [tex]\epsilon[/tex] клони към нула, едно делено на [tex]\epsilon[/tex] клони към безкрайност. Понеже числителят е отрицателен, а знаменателят е положителен, безкрайността е със знак минус. Това, значи, че когато х наближава стойност 4 отдясно (остава по-голямо от 4), графиката на функцията отива към минус безкрайност.
[tex][/tex]