решете показателните уравнения

[Гост]

решете показателните уравнения

[S.B.]

решете показателните уравнения

1)
[tex]5^{x } + 7. 5^{x - 2 } = 160 \Leftrightarrow 5^{x } + 7. 5^{x }. \frac{1}{ 5^{2 } } = 160 \Leftrightarrow 25. 5^{x } + 7. 5^{x } = 160.25 \Leftrightarrow 5^{x }(25 + 7) = 160.25 \Leftrightarrow 5^{x }= \frac{160.25}{32}[/tex]
[tex]5^{x } = \frac{160.25}{32} \Rightarrow 5^{x } = 125 \Leftrightarrow 5^{x } = 5^{3 } \Rightarrow x = 3[/tex]

2)
[tex]2^{2x + 1 } - 5. 2^{x } + 2 = 0 \Leftrightarrow 2. 2^{2x } - 5 2^{x } + 2 = 0[/tex]
Нека:
[tex]2^{x } = t>0 \Rightarrow 2^{2x } = t^{2 }[/tex]
Замествам и получавам:
[tex]2t^{2 } - 5t + 2 =0 ,D= 9 , t_{1 ,2} = \frac{5 \pm 3}{4} \Rightarrow t_{1 } = 2>0 , t_{2 } = \frac{1}{2} > 0[/tex]
Връщам субституцията:
[tex]2^{ x_{1 } } = t_{1 } \Leftrightarrow 2^{ x_{1 } } = 2 \Rightarrow 2^{ x_{1 } } = 2^{1 } \Rightarrow x_{1 } = 1[/tex]
[tex]2^{ x_{2 } } = t_{2 } \Leftrightarrow 2^{ x_{2 } } = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2^{ x_{2 } } = 2^{ - 1 } \Rightarrow x_{2 } = -1[/tex]