Решете логаритмичното уравнение

[Гост]

20211110_201945.jpg (27.88 KiB) Прегледано 395 пъти

[Davids]

Първо гледаме ДС:
$\begin{array}{|l} 2x + 1 > 0 \\ 5x + 2 > 0 \end{array} \Longrightarrow x > -\frac{2}{5}$

Като сме осигурили това, действаме смело по познатите ни правила за аритметични действия с логаритми:
$\lg(2x+1) + lg(5x + 2) = \lg\left((2x+1)(5x+2)\right) = \lg(10x^2 + 9x + 2) = \frac{1}{2}\lg81 = \lg\left(\sqrt{81}\right) = \lg9$
$\Rightarrow 10x^2 + 9x + 2 = 9$
$10x^2 + 9x - 7 = 0$
$x_1 = -\frac{7}{5}$
$x_2 = \frac{1}{2}$

От двете решения, само $x = \frac{1}{2}$ влиза в ДС.

[nikola.topalov]

Уравнението е дефинирано в множеството [tex]D=\{x\in\mathbb{R}|2x+1>0, 5x+2>0\}[/tex], т.е. в [tex]D=\{x\in\mathbb{R}|x>-2/5\}[/tex]. Използваме, че [tex]\log_c a+\log_c b=\log_c (ab)[/tex] и [tex]n\log_c a=\log_c a^n[/tex] за [tex]a,c>0[/tex], [tex]c\ne 1[/tex] и [tex]\forall n\in\mathbb{R}[/tex]. Така стигаме до [tex]\lg[(2x+1)(5x+2)]=\lg 9[/tex] и след антилогаритмуване получаваме уравнението [tex](2x+1)(5x+2)=9[/tex], чиито корени са [tex]x_1=1/2\in D[/tex] и [tex]x_2=-7/5\not\in D[/tex]. Следователно само [tex]x=1/2[/tex] е решение.