Неравенство и параметър

[Гост]

IMG_20220117_113215_edit_784918039605229.jpg (1.86 MiB) Прегледано 444 пъти

[mail_dinko]

[tex]\frac {1}{ x^2 + 8 x -9} \ge \frac {1}{3x^2 - 5x +2}[/tex]
[tex]x^2 + 8x -9 = 0[/tex]
[tex]D = 16+9 = 25[/tex]
[tex]x_ 1 = 1[/tex]
[tex]x_ 2 = -9[/tex]
[tex]3x^2 - 5x +2 = 0[/tex]
[tex]D = 25 -24 = 1[/tex]
[tex]x_3 = 1[/tex]
[tex]x_ 4 = \frac {2}{3}[/tex]
Изключваме и 4те корена от множеството на решенията
[tex]\frac {1}{ (x+9 )(x-1)} \ge \frac {1}{(x-1)(3x-2)}[/tex]
[tex]\frac {3x-2 - x -9}{(x+9 )(x-1)(3x-2)} \ge 0 \Leftrightarrow \frac {2x-11}{(x+9 )(x-1)(3x-2)} \ge 0[/tex]
[tex]x \in ( - \infty ; -9) \cup ( \frac {2}{3} ;1) \cup [ \frac { 11}{2} ; \infty )[/tex]

[mail_dinko]

[tex](a-1)x^2 -4ax + 4a -1 =0[/tex]
[tex]x_1 + x_2 = - b/a = - \frac {-4a}{a-1}= \frac {4a}{a-1}[/tex]
[tex]x_1 . x_2 = c/a = \frac {4a-1}{a-1}[/tex]
[tex]D = 4a^2 -(4a-1)(a-1) = 4a^2 - 4a^2 +4a +a - 1 = 5a-1[/tex]

Един корен - двукратен корен
[tex]\begin{array}{|l} x_1 x_2 \ge 0 \\ D=0 \end{array} \begin{array}{|l} \frac {4a-1}{a-1} \ge 0 \Rightarrow a \in ( - \infty ; \frac {1}{4} ] \cap (1; \infty ) \\ 5a-1 = 0 \Rightarrow \end{array}[/tex]
[tex]a = \frac {1}{5}[/tex]

Два разл. полож. корена
[tex]\begin{array}{|l} x_1 + x_2 > 0 \Rightarrow \frac {4a}{a-1} >0 \Rightarrow a \in ( - \infty ; 0 ) \cap (1; \infty ) \\ x_1 x_2 >0 \Rightarrow \frac {4a-1}{a-1} > 0 \Rightarrow a \in ( - \infty ; \frac {1}{4} ) \cap (1; \infty ) \\ D>0 \Leftrightarrow 5a-1 > 0 \Rightarrow a > \frac {1}{5} \end{array}[/tex]
a>1

[S.B.]

Още един поглед върху задачата

[tex](a - 1)x^{2 } -4ax + (4a - 1) = 0[/tex]

1)
Нека [tex]a-1 = 0 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow -4x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}[/tex]
За $a = 1$ уравнението има единствен реален корен [tex]x = \frac{3}{4}[/tex]

2)
Нека [tex]a\ne 1[/tex]
[tex]D = (4a)^{2 } - 4(a-1)(4a-1) = 16 a^{2 } -16 a^{2 } + 20a - 4 = 4(5a - 1) \ge 0 \Rightarrow 5a -1 \ge 0[/tex]

[tex]D = 0 \Leftrightarrow 5a - 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{5}[/tex]
За [tex]a = \frac{1}{5}[/tex] уравнението има един двоен реален корен

[tex]D > 0 \Leftrightarrow 5a -1 > 0 \Rightarrow a > \frac{1}{5}[/tex]
За [tex]a >\frac{1}{5}[/tex] уравнението има два различни реални корена : [tex]x_{1 } \ne x_{2 }[/tex]
Според формулите на Виет :
[tex]x_{1 }. x_{2 } = \frac{4a - 1}{a - 1} , x_{1 } + x_{2 } = - ( \frac{-4а}{a - 1}) = \frac{4a}{a - 1}[/tex]
За да бъде изпълнено [tex]x_{1 } \ne x_{2 }, x_{1 }> 0[/tex] и [tex]x_{2 } > 0[/tex] трябва да бъде изпълнено:
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{4a}{a - 1} > 0\\ a > \displaystyle\frac{1}{5} \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{4a - 1}{a - 1}> 0 \\a > \displaystyle \frac{1}{5} \end{array}[/tex]
За първата система отговорът е : [tex]a \in (1 ; + \infty )[/tex]
За втората система отговорът е : [tex]a \in ( \frac{1}{5} ; \frac{1}{4}) \cup (1; + \infty )[/tex]
Или окончателно два различни реални положителни корена има за [tex]a \in (1 ; + \infty)[/tex]

Отговор:
за [tex]a = 1[/tex] уравнението има единствен реален корен
за [tex]a = \frac{1}{5}[/tex] уравнението има двоен реален корен
за [tex]a > 1[/tex] уравнението има два различни положителни реални корени