Сходящи редици

[Гост]

1642504975668.jpg (1.97 MiB) Прегледано 414 пъти

Моля ако някой може да помогне с оградените задачи. Благодаря

[peyo]

Прикачения файл 1642504975668.jpg вече е недостъпен

Моля ако някой може да помогне с оградените задачи. Благодаря

1а

$a_1 = 1/3$ , $a_{n+1} = \frac{a_n^2}{1-a_n^2}$

Да направим замяна $b_n = 1/a_n$

$b_1 = 3$ , $b_{n+1} = b_n^2 - 1$

Първите няколко члена са:
3,8,63,3968

Съответните $a_n$ са:
1/3,1/8,1/63,1/3968

Тоест много-много бързо се доближават до 0. Тук можем да спрем, защото очевидно границата е 0.

Но да видим дали можем да дадем малко по-строго доказателство.

Квадрата на едно число минус едно ще е обикновено по-голямo от числото. Да видим кога това няма е вярно:

$x^2 -1 < x$

$x^2 -x -1 < 0$

$x_1,x_2 = \left[ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$

$(x+0.6180339887498949)(x-1.618033988749895)<0$

skjghasf.png (13.55 KiB) Прегледано 381 пъти

Както виждаме трябва числото да е по-малко от 1.618... , а в нашия случай нашето първо число е 3, значи нашата редица ще расте с квадратни темпове и реципрочната ще намалява със същите с което задачата е решена с (както обещах) малко по-строго доказателство.