Област от стойности

[Гост]

Може ли малко помощ
Да се намери областта от стойностите на израза [tex]\frac{x+1}{ x^{2 }+1 }[/tex]+[tex]\frac{y+1}{ y^{2 }+1 }[/tex], където x и y са положителни числа и x+y=1

[vezni]

$\frac{x+1}{x^2+1}+\frac{y+1}{y^2+1}=\frac{(x+1)(y^2+1)+(y+1)(x^2+1)}{(x^2+1)(y^2+1)}=\frac{xy^2+x^2y+x^2+y^2+x+y+2}{x^2y^2+x^2+y^2+1}=\frac{xy(x+y)+(x+y)^2-2xy+(x+y)+2}{x^2y^2+(x+y)^2-2xy+1}=$
$=\frac{4-xy}{x^2y^2-2xy+2}$
Полагаме $t=xy$. Имаме $t>0$, понеже $x,y>0$, и от неравенството между средно аритметично и геометрично $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$, виждаме, че $t\le \frac 14$.
Остава да се изследва функцията $f(t)=\frac{4-t}{t^2-2t+2}$ в интервала $\left(0;\frac 14\right]$. $f'(t)=\frac{t^2-8t+6}{(t^2-2t+2)^2}>0$ за $t\in\left(0;\frac 14\right ]$, откъдето функцията
е растяща във въпросния интервал и множеството от стойности е интервала $\left(f(0);f\left(\frac 14\right)\right]=\left(2;\frac{12}{5}\right]$.