Една задача с параметър

[Гост]

Да се реши уравнението [tex]x^{4 }[/tex] - 2[tex]a^{ } x^{2 }[/tex] + x + [tex]a^{2 }[/tex] - [tex]a^{ }[/tex], x[tex]\in[/tex]R, където а е реален параметър

Някой може ли да помогне

[vezni]

Имаме $x^4-2ax^2+x+a^2-a=0\Leftrightarrow (x^2-x+1-a)(x^2+x-a)=0\Leftrightarrow x^2-x+1-a=0$ или $x^2+x-a=0$.
Първото квадратно уравнение е с дискриминанта $D_1=4a-3$. При $D_1\ge 0\Leftrightarrow a\ge \frac 34$ реалните му корени са $x_{1,2}=\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2}$, като коренът е двоен при $a=\frac 34$.
Второто е с дискриминанта $D_2=4a+1$. При $D_2\ge 0\Leftrightarrow a\ge -\frac 14$ реалните му корени са $x_{3,4}=\frac{-1+\sqrt{4a+1}}{2}$, като коренът е двоен при $a=-\frac 14$.
Ако допуснем, че двете имат общ корен, получаваме $x^2-x+1-a=x^2+x-a\Leftrightarrow x=\frac 12$. Замествайки $x=\frac 12$ в едното (примерно второто), намираме $a=\frac 34$. При $a=\frac 34$ корените на двете квадратни уравнения са съответно $x_1=x_2=\frac 12$ и $x_3=\frac 12, x_4=-\frac 32$. Накрая трябва да се състави отговор за изходното уравнение. Ще оставя това удоволствие на теб .

[peyo]

Имаме $x^4-2ax^2+x+a^2-a=0\Leftrightarrow (x^2-x+1-a)(x^2+x-a)=$...

Хмм... По какъв метод раздели полинома на две параболи?

[vezni]

Хмм... По какъв метод раздели полинома на две параболи?

По принцип за такова разлагане е достатъчно да разкрием скобите и да видим, че е вярно. Не е необходимо да е получено по какъвто и да е метод (може просто да сме го уцелели по случайност). В конкретния случай обаче има начин . Ако го разгледаме като квадратно спрямо $a$, се получава $a^2-(2x^2+1)a+x^4+x=0$ с дискриминанта $D=(2x-1)^2$. Нататък би трябвало да е ясно.

[S.B.]

Да се реши уравнението [tex]x^{4 }[/tex] - 2[tex]a^{ } x^{2 }[/tex] + x + [tex]a^{2 }[/tex] - [tex]a^{ }[/tex], x[tex]\in[/tex]R, където а е реален параметър

Някой може ли да помогне

[tex]x^{4 } - 2a x^{2 } + x + a^{2 }- a = 0[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]a^{2 } - (2 x^{2 } + 1)a + ( x^{4 } + x) = 0[/tex]

Ще разгледам уравнението :
[tex]a^{2 } - (2 x^{2 } + 1)a + ( x^{4 } + x) = 0[/tex]
[tex]D = (2 x^{2 } + 1) ^{2 } - 4( x^{4 }+ x) = 4x^{4 } + 4 x^{2 } + 1 - 4 x^{4 }- 4x = 4 x^{2 } - 4x + 1 = (2x - 1)^{2 }[/tex]
$$D = (2x - 1)^{2 } $$
[tex]a_{1,2 } = \frac{2 x^{2 }+ 1 \pm (2x - 1)}{2}[/tex]

$$D = 0$$
[tex]2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]a_{1 ,2} = \displaystyle\frac{2 x^{2 } + 1 }{2} \Leftrightarrow a_{1,2 } = \displaystyle\frac{2.\displaystyle \frac{1}{4} + 1 }{2} \Rightarrow a_{1,2 } = \displaystyle\frac{3}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]a = \frac{3}{4} , x = \frac{1}{2}[/tex]

$$D > 0$$
[tex]a_{1 } = \frac{2 x^{2 } + 1 + 2x - 1 }{2} = x^{2 } + x[/tex]
[tex]a_{2 } = \frac{2 x^{2 } + 1 - 2x + 1 }{2} = \frac{2 x^{2 } - 2x + 2 }{2} = x^{2 } - x + 1[/tex]

Ще представя параметъра $a$ като функция на $x$:

1)
[tex]a_{1 }(x) = x^{2 } + x[/tex]
[tex]a_{1 }'(x) = 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}[/tex]
За [tex]x = - \frac{1}{2}[/tex] функцията [tex]a_{1 }(x)[/tex] притежава екстремум , [tex]a_{1 }(- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]a = - \frac{1}{4} , x = - \frac{1}{2}[/tex]
Нека проверим за пресечните точки на [tex]a_{1 }(x)[/tex] с координатните оси:
[tex]a_{1 }(x) = 0 \Leftrightarrow x^{2 } + x = 0 \Leftrightarrow x(x + 1) = 0 \Rightarrow x_{1 } = 0 , x_{2 } = 1[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]a = 0[/tex] има два корена [tex]x_{1 } = 0 , x_{2 } = 1[/tex]

2)
[tex]a_{2 }(x) = x^{2 } - x + 1[/tex]
[tex]a_{2 }'(x) = 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]x = \frac{1}{2}[/tex] функцията [tex]a_{2 }(x)[/tex]притежава екстремум, [tex]a_{2 }( \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]a = \frac{3}{4} , x = \frac{1}{2}[/tex]
Да проверим пресечните точки с координатните оси:
[tex]a_{2 }(x) =0 \Leftrightarrow x^{2 } - x + 1 = 0 ,D= -3 < 0 \Rightarrow[/tex] няма реални корени

Отговор:

За $a= 0$ уравнението има два корена [tex]x_{1 } = 0 , x_{2 } = -1[/tex]
За [tex]a = - \frac{1}{4} , x_{3 } = - \frac{1}{2}[/tex]
За [tex]a = \frac{3}{4} , x_{4 } = \frac{1}{2}[/tex]