Задача от примерна матура за 2022 година.

[Гост]

Трябва ми помощ с тази задача

[mail_dinko]

[tex]s[/tex] е коефициент на подобие на двата триъгълника; следователно е равен на 2, т.к. страните срещу половинката на ъгъл В се отнасят както 2:1.

[Hephaestus]

Според условието [tex]s[/tex] е отношението на периметрите на [tex]\triangle BLC[/tex] и [tex]\triangle BLA[/tex], а не коефициент на подобие.

[tex]AL : CL = 1 : 2 \Rightarrow AL = x, CL = 2x[/tex]
От свойството на ъглополовящата [tex]BL \Rightarrow \frac{AB}{BC} = \frac{AL}{CL} = \frac{1}{2}[/tex]. Тогава, ако [tex]AB = y,[/tex] то [tex]BC = 2y[/tex]

[tex]s = \frac{P_{\triangle BLC } }{P_{\triangle BLA }} = \frac{BL+2x+2y}{BL+x+y} < \frac{2BL+2x+2y}{BL+x+y} = \frac{2(BL+x+y)}{BL+x+y} = 2[/tex]

Следователно [tex]s < 2[/tex]