Задача с лица

[Гост]

Здравейте, дали някой ще може да помогне?

2.jpg (27.98 KiB) Прегледано 374 пъти

[Davids]

Ще започнем първо от $\triangle CL_1L_2$. От свойството на ъглополовящата знаем, че:

$\frac{CL_1}{L_1B} = \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{CL_1}{a - CL_1} = \frac{b}{c} \Rightarrow CL_1 = \frac{ab}{b + c}$.

Аналогично получаваме и $CL_2 = \frac{ab}{a + c}$.

Сега, от формулата за лице чрез синус имаме, че $S = \frac{ab\sin\angle C}{2} \Rightarrow \sin\angle C = \frac{2S}{ab}$.

Използваме този синус и получаваме $S_{CL_1L_2} = \frac{CL_1\cdot CL_2\cdot\sin\angle C}{2} = \frac{2S(ab)^2}{2ab(a+c)(b+c)} = \frac{Sab}{(a+c)(b+c)}$.

Аналогично извеждаме и другите две:

$S_{AL_2L_3} = \frac{Sbc}{(b+a)(c+a)}$

$S_{BL_3L_1} = \frac{Sac}{(a+b)(c+b)}$

И така можем вече да изразим:
$S_{L_1L_2L_3} = S - (S_{CL_1L_2} + S_{AL_2L_3} + S_{BL_3L_1}) = S - S\left[\frac{ab}{(a+c)(b+c)} + \frac{bc}{(b+a)(c+a)} + \frac{ac}{(a+b)(c+b)}\right] = $

$= \frac{S}{(a+c)(b+c)(a+b)}\Bigl[(a+c)(b+c)(a+b) - \bigl[ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)\bigr]\Bigr] = \dots $

$= \frac{2Sabc}{(a+c)(b+c)(a+b)}$

Домързя ме да го пиша подробно, но като разкрием и посъкратим, излиза каквото трябва.