Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Някой може ли да помогне с тази задача:

5.jpg (32.81 KiB) Прегледано 428 пъти

[ammornil]

[tex]\triangle ABC, \angle ACB=90 ^\circ , \angle BAC= \alpha , AB=c[/tex]
[tex]CH \bot BC, h \in AB, M \in CH, CM=MH, N \in AB, BN=NH[/tex]
[tex]\overrightarrow{MN} \cap AC = P, \overrightarrow{AM} \cap CN = Q[/tex]

220208_001.png (39.84 KiB) Прегледано 408 пъти

[tex][/tex]
-Да се намерят дължините на [tex]MN[/tex] и [tex]PN[/tex]
[tex]\frac{BC}{AB}=\sin{\angle BAC} \Rightarrow BC=AB.\sin{\angle BAC} \Rightarrow BC=c\sin{ \alpha }[/tex], [tex]\ \frac{AC}{AB}=\cos{\angle BAC} \Rightarrow AC=AB.\cos{\angle BAC} \Rightarrow AC=c\cos{ \alpha }[/tex]

[tex]\frac{CH}{AC}=\sin{\angle BAC} \Rightarrow CH=AC.\sin{\angle BAC} \Rightarrow CH=c\sin{ \alpha }\cos{ \alpha }[/tex]

[tex]CM=MH=\frac{1}{2}CH=\frac{c\sin{ \alpha }\cos{ \alpha }}{2}[/tex]

[tex]MN[/tex]-средна отсечка в [tex]\triangle CHB[/tex] защото [tex]\begin{cases} CM=MH \\ BN=NH \end{cases}[/tex], [tex]\Rightarrow MN=\frac{1}{2}.BC \Rightarrow MN=\frac{c\sin{ \alpha }}{2}[/tex] и [tex]MN\|BC[/tex]

$$ MN=\frac{c\sin{ \alpha }}{2} $$

[tex]\begin{cases} MN\|BC \\ BC\bot AC \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{MN} \bot AC \Rightarrow \angle BPC = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle CPM \sim \triangle NHM \begin{cases} \angle CPM = \angle NHM =90 ^\circ \\ \angle CMH =\angle NMH -връхни \end{cases} \Rightarrow \frac{CM}{MN}=\frac{MP}{MH} \Rightarrow MP=\frac{CM.MH}{MN}=CM.MH.\frac{1}{MN}[/tex]

[tex]\Rightarrow MP= \frac{c\sin{ \alpha }\cos{ \alpha }}{2}.\frac{c\sin{ \alpha }\cos{ \alpha }}{2}.\frac{2}{c\sin{ \alpha }}=\frac{c\sin{ \alpha }\cos^{2}{ \alpha }}{2}= \frac{c\sin{ \alpha }}{2}\cos^{2}{ \alpha }[/tex]

$$NP = MN+MP = \frac{c\sin{ \alpha }}{2}(1+\cos^{2}{ \alpha })$$

[ammornil]

220208_003.png (40.66 KiB) Прегледано 408 пъти

[tex][/tex]

за второто тире- не мога да се сетя защо [tex]AQ \bot NC[/tex]... Може би някой ще ми припомни?

когато това се докаже, [tex]MN[/tex] се вижда едновременно под прав ъгъл от [tex]H[/tex], следователно [tex]M, N, H[/tex] лежат на окръжност с диаметър [tex]MN[/tex] и под прав ъгъл от [tex]Q[/tex], следователно [tex]M, N, Q[/tex] лежат на окръжност с диаметър [tex]MN[/tex], следва че [tex]M, N, H, Q[/tex] лежат на окръжност с диаметър [tex]MN[/tex], тоест [tex]MQNH[/tex] е вписан в окръжност с диаметър [tex]MN[/tex] и радиус [tex]\rho = \frac{MN}{2}[/tex]

тогава за третото тире получаваме:
$$ \rho = \frac{c\sin{\alpha}}{4}$$

[ammornil]

[tex]S_{ \triangle ABC}=\frac{AC.BC}{2}=\frac{AB+BC+AC}{2}.r \Rightarrow AC.BC=r.(AB+BC+AC) \Rightarrow r=\frac{AC.BC}{AB+BC+AC}[/tex]

[tex]r=\frac{c\cos{ \alpha }.c\sin{ \alpha }}{c+c\sin{ \alpha }+c\cos{ \alpha }}=\frac{c^{2}\sin{ \alpha }.\cos{ \alpha }}{c(1+\sin{ \alpha }+\cos{ \alpha })}=\frac{\sin{ \alpha }.\cos{ \alpha }}{1+\sin{ \alpha }+\cos{ \alpha }}.c[/tex]

[tex]\frac{r}{\rho}=\frac{\frac{\sin{ \alpha }.\cos{ \alpha }}{1+\sin{ \alpha }+\cos{ \alpha }}.c}{ \frac{c\sin{\alpha}}{4}}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{r}{\rho}=\frac{4\cos{ \alpha }}{1+\sin{ \alpha }+\cos{ \alpha }}[/tex]

[tex]\tg{\frac{\alpha}{2}}=t \rightarrow \frac{r}{\rho}=\frac{4\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}{1+\frac{2t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=\frac{4\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\frac{1+t^{2}+1-t^{2}+2t}{1+t^{2}}}=\frac{4(1-t^{2})}{2(1+t)}=\frac{2(1-t)(1+t)}{1+t}=2(1-t)[/tex]

[tex]\frac{r}{\rho}=2\left(1-\tg{\frac{\alpha}{2}} \right)[/tex] [tex]\Rightarrow 2\left(1-\tg{\frac{\alpha}{2}} \right)=2(\sqrt{3}-1) \Rightarrow 1-\tg{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{3}-1 \Rightarrow \tg{\frac{\alpha}{2}}=2-\sqrt{3}[/tex]

[tex]\frac{\alpha}{2}=arctg(2-\sqrt{3})\pm k\pi \Rightarrow \alpha=2arctg(2-\sqrt{3})\pm 2k\pi,\ (k\in N)[/tex]

[Евва]

Защо AQ[tex]\bot[/tex]NC ?
За [tex]\triangle[/tex]ANC -височините NP и CH се пресичат в ортоцентъра т.М .
Щом отсечката AQ минава през ортоцентъра , то тя също е височина в [tex]\triangle[/tex]ANC .