Една трудна задача

[Гост]

Здравейте, някой ще може ли да помогне с тази задача:
Дадена е редица от реални числа [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex],..., за която [tex]a_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1}{6}[/tex] и [tex]a_{n+1 }[/tex] = [tex]a_{n } ^{2 }[/tex] + [tex]\frac{2}{9}[/tex] за n = 1,2,...
a) Да се докаже, че 0 < [tex]a_{n }[/tex] < [tex]\frac{1}{3}[/tex] за всяко n = 1,2,...
б) Да се докаже, че дадената редица е монотонна
в) Да се докаже, че дадената редица е сходяща и да се намери нейната граница

[peyo]

Здравейте, някой ще може ли да помогне с тази задача:
Дадена е редица от реални числа [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex],..., за която [tex]a_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1}{6}[/tex] и [tex]a_{n+1 }[/tex] = [tex]a_{n } ^{2 }[/tex] + [tex]\frac{2}{9}[/tex] за n = 1,2,...
a) Да се докаже, че 0 < [tex]a_{n }[/tex] < [tex]\frac{1}{3}[/tex] за всяко n = 1,2,...
б) Да се докаже, че дадената редица е монотонна
в) Да се докаже, че дадената редица е сходяща и да се намери нейната граница

Имаме:
[tex]a_{n+1 } =a_{n } ^{2 }+ \frac{2}{9}[/tex]

За n=1 или зa n=2 имаме:
$a_n < \frac{1}{3}$

Да видим за n+1:

[tex]a_{n } ^{2 }+ \frac{2}{9} < \frac{1}{3}[/tex]

[tex]\sqrt{ a_{n } ^{2 }}< \sqrt{\frac{1}{9}}[/tex]

$a_n < \frac{1}{3}$

Или рекурсивно даказахме а).