Показателно неравенство

[Гост]

4[tex]^{x }[/tex]+2[tex]^{x+3}[/tex] <20

[Davids]

$4^x + 2^{x+3} < 20$
$(2^x)^2 + 2^3\cdot2^x < 20$

Полагаме $t := 2^x > 0$ и неравенството придобива вида:

$t^2 + 8t - 20 < 0$

Решаваме квадратното уравнениие, за да разложим на множители. Детерминантата е $D = 8^2 + 4.20 = 144 = 12^2$, значи решения са $x_1 = \frac{-8-12}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{8+12}{2} = 2$, значи неравенството ни става:

$(t+10)(t-2) < 0$

От знанията си за разположението на корените на квадратен тричлен знаем, а и от алгебрични съображения по знаците на множителите, че щом коефициентът пред втората (висшата) степен е положителен, то параболата ни има отрицателен знак между двата си корена. Т.е. решения са:
$t \in (-10, 2)$

Само че по полагане трябва да пресечем и с условието $t > 0$, т.е. окончателно имаме $t \in (0, 2) \Leftrightarrow 2^x\in(0, 2)$

Логаритмуваме и стигаме до финалното решение:

$\boxed{x \in (-\infty, \log_22) \Leftrightarrow x < 1}$

[ptj]

Правилно, но изключително нерационално за конкретния случай решение.

Отдясно имаме непрекъсната строго растяща функция (дефинирана върху цялата числова ос), като [tex]f(1)=20[/tex]. Какъв е извода?