Задача

[Гост]

/[tex]x^{2 }[/tex]-5x/ [tex]\le[/tex]6

[mail_dinko]

[tex]|x^2-5x| \le 6[/tex]
[tex]x^2-5x -6 \le 0[/tex]
[tex]D=25+24=7^2[/tex]
[tex]x_1 = 6; x_2 = -1[/tex]
[tex]x \in [-1;6][/tex]

[tex]x^2-5x +6 \ge 0[/tex]
[tex]D= 25-24 = 1[/tex]
[tex]x_1 = 3; x_2 = 2[/tex]
[tex]x \in ( - \infty ;2] \cup [3; \infty)[/tex]

Мисля, че трябва да се направи обединение после, но не знам защо като проверих с Волфрам алфа, ми дава сечение

[Евва]

Очевидно стойности по-големи от 6 не са решения .

[S.B.]

/[tex]x^{2 }[/tex]-5x/ [tex]\le[/tex]6

[tex]| x^{2 } - 5x| \le 6 \Leftrightarrow | x^{2 } - 5x| - 6 \le 0[/tex]
Д.М. [tex]x \in (- \infty : + \infty )[/tex]

[tex]x^{2 } - 5x = 0 \Leftrightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow x_{1 } = 0 , x_{2 } = 5[/tex]
Стойностите на [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] разделят Д.М. на три подмножества;
Д.М.1: [tex](- \infty : 0][/tex]
Д.М.2: [tex][0 : 5][/tex]
Д.М.3: [tex][ 5 : + \infty )[/tex]
Над всяко от тях ще разгледам даденото неравенство.

1) Д.М.1:[tex]x \in ( - \infty : 0][/tex]

[tex]x^{2 } - 5x \ge 0[/tex]
[tex]| x^{2 } - 5x| - 6 \le 0 \Leftrightarrow x^{2 } - 5x - 6 \le 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 6) \le 0 \Rightarrow x \in [- 1:6][/tex]
От [tex]\begin{cases} x \in (- \infty ; 0] \\ x \in [-1;6] \end{cases} \Rightarrow x \in [- 1;0][/tex] е решението в това подмножество.


2)Д.М.2: [tex]x \in [0 ; 5][/tex]

[tex]x^{2 } - 5x \le 0 \Rightarrow | x^{2 } - 5x| -6 \le 0 \Leftrightarrow - ( x^{2 } - 5x) - 6 \le 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) \ge 0 \Rightarrow x \in (- \infty ;2] \cup [3; + \infty )[/tex]
От [tex]\begin{cases} x \in (- \infty ; 2] \cup [3 ; + \infty )\\ x \in [0;5]\end{cases} \Rightarrow x \in [0;2] \cup [3;5][/tex] е решението в това подмножество.


3)Д.М.3: [tex]x \in [5 ; + \infty )[/tex]

[tex]x^{2 } - 5x \ge 0 \Rightarrow | x^{2 } - 5x| - 6 \le 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x - 6) \le 0 \Rightarrow x \in [-1 ; 6][/tex]
От [tex]\begin{cases} x \in [-1;6]\\ x \in [5;+ \infty )\end{cases} \Rightarrow x \in [5 ; 6][/tex] е решението в това подмножество.


От решенията в трите помножества получавам:
[tex]x \in [-1;0] \cup [0;2] \cup [3;5] \cup [5 ; 6][/tex]
Окончателното решение е :
$$x \in [- 1; 2] \cup [3 ; 6]$$

[ptj]

(*): [tex]|x^2-5x| \le 6[/tex]


Има два случая:

I.) При [tex]x^2-5x\ge0 \Leftrightarrow x \in (-\infty ;0] \cup [5;+\infty)[/tex],

Изходното неравенство (*) [tex]\Leftrightarrow x^2-5x-6 \le 0 \Leftrightarrow (x-6)(x+1) \le 0 \Leftrightarrow x \in [-1;6][/tex].

Решението е [tex]\bigg((-\infty ;0] \cup [5;+\infty) \bigg) \cap \bigg( -1;6\bigg) \Leftrightarrow x \in [-1;0] \cup [5;6][/tex]


II.) При [tex]x^2-5x<0 \Leftrightarrow x \in (0;5)[/tex],

Изходното неравенство (*) [tex]\Leftrightarrow -(x^2-5x) \le 6 \Leftrightarrow (x-3)(x-2) \ge 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty;2] \cup [3;+\infty)[/tex].

Решението е [tex]\bigg((-\infty ;2] \cup [3;+\infty) \bigg) \cap \bigg( 0;5\bigg) \Leftrightarrow x \in (0;2] \cup [3;5)[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------------------
Окончателното решение е обединение на намерените решения в I.) и II.) ,

т.е. [tex]x \in [-1;2] \cup [3;6][/tex]

[ptj]

Има и по-бърз начин за решаване, но не всеки ще го разбере.

По принцип изходното неравенство се разпада две квадратни неравенства (без модули), а всяко от последнитъе 2 има точно по две нули.

Тогава тези нули разделят числовата ос на 5 интервала с алтернативно сменящи се знаци (спрямо изходното неравенство).

Това е достатъчно за записване на крайния отговор.

П.П. Единственото допълнително условие въпросните квадратни неравенства да са еднопосочни.