Домашно

[gongi]

Две положителни числа имат сбор 28.Намерете тези числа така,че произведението им да е най-голямо.Намерете тава произведение.

[ammornil]

Две положителни числа имат сбор 28.Намерете тези числа така,че произведението им да е най-голямо.Намерете тава произведение.

За всяка група [tex]n[/tex] цели положителни числа [tex]a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n}[/tex] е в сила неравнеството [tex]\frac{ \sum_{i=1}^{n }a_{_{n}} }{n} \ge \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_{_{n}}}[/tex]
С други думи, средно-аритметичното на група цели положителни числа е по-голямо или в частен случай равно на средно-геометричното на тази група числа. Равното се получава тогава, когато всички елементи в групата имат равни стойности.

[tex]x+y=28, (x.y)_{max}=?[/tex]

[tex]x \in Z^{+}, y \in Z^{+}[/tex]

[tex]\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x.y} \Leftrightarrow\frac{28}{2} \ge \sqrt{x.y} \Leftrightarrow x.y \le 14^{2}[/tex]
Равното се получава, когато всички елементи от групата са равни, [tex]\Rightarrow x=y=14 \Rightarrow (x.y)_{max}=196[/tex]

Проверка чрез намиране на всички възможни комбинации:

Скрит текст: покажи

Screenshot 2022-04-24 165658.png (19.52 KiB) Прегледано 2494 пъти

[nikola.topalov]

Ето и още едно решение: Нека двете числа са [tex]x>0[/tex] и [tex]y>0[/tex]. За тях знаем по условие, че [tex]x+y=28[/tex]. Изразяваме [tex]x=28-y[/tex] и оттук получаваме, че [tex]0<y<28[/tex]. Искаме да намерим максимума на функцията [tex]f(y)=y(28-y)[/tex] в интервала [tex](0,28)[/tex]. Първата производна [tex]f'(y)=28-2y[/tex] се анулира в точката [tex]y=14\in(0,28)[/tex] и понеже [tex]f(y)[/tex] расте в [tex](-\infty,14)[/tex] и намалява в [tex](14,+\infty)[/tex], то $$\max\limits_{\substack{x+y=28 \\ x>0 \\y>0}} xy=\max\limits_{0<y<28}f(y)=f(14)=196$$

Скрит текст: покажи

Надявам се да не бъда нападнат, че съм използвал производна, за да изследвам квадратна функция.

[Tilko]

Две положителни числа имат сбор 28.Намерете тези числа така,че произведението им да е най-голямо.Намерете тава произведение.

Възможно решение е да използвате неравенството на АМ-ГМ(аритметично-геометричната средна). Нека x и y са положителни числа, такива че x + y = 28.
Според неравенството на ам-гм, имаме:

[tex]\frac{(x+y)}{2}[/tex] [tex]\ge[/tex] [tex]\sqrt{(xy)}[/tex]

[tex]\frac{28}{2}[/tex] [tex]\ge[/tex] [tex]\sqrt{(xy)}[/tex]

14 [tex]\ge[/tex] [tex]\sqrt{(xy)}[/tex]

[tex]14^{2 }[/tex] [tex]\ge[/tex] xy

196 [tex]\ge[/tex] xy

Така получаваме, че x и y трябва да бъде по-малко или равно на 196. С равенство се достига когато x = y = 14.

Следователно, максималните стойности на x и y, при които произведението им е най-голямо и сумата им е 28, са 14 и 14, като това произведение е равно на 196.