Медиани и ъгли

[Гост]

Триъгълник ABC има медиани AA1, BB1 и CC1, които се пресичат в т. М. Докажете, че ако точките A1, B1, C и М лежат на една окръжност, то ъгъл BCC1 = ъгъл АBB1 и ъгъл ACC1 = ъгъл BAA1

[S.B.]

Триъгълник ABC има медиани AA1, BB1 и CC1, които се пресичат в т. М. Докажете, че ако точките A1, B1, C и М лежат на една окръжност, то ъгъл BCC1 = ъгъл АBB1 и ъгъл ACC1 = ъгъл BAA1

Без заглавие - 2022-05-21T165703.179.png (238.53 KiB) Прегледано 456 пъти

Използвам,че [tex]A_{1 }, B_{1 },C,M[/tex] лежат на една окръжност.
[tex]AA_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow А_{1 }[/tex] е среда на $BC$
[tex]BB_{1 }[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow B_{1 }[/tex] е среда на $AC$
[tex]\Rightarrow A_{1 } B_{1 }[/tex] е средна отсечка [tex]\Rightarrow A_{1 } B_{1 } || AB \Rightarrow \angle AB B_{1 } = \angle A_{1 } B_{1 } M[/tex] (като кръстни ъгли)
[tex]\angle A_{1 } B_{1 }M = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{M A_{1 }} }{2} , \angle A_{1 }CM = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{M A_{1 }} }{2} \Rightarrow \angle A_{1 }CM = \angle A_{1 } B_{1 }M[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle A_{1 }CM = \angle A_{1 } B_{1 }M \\ \angle A_{1 }CM = \angle BC C_{1 }\\ \angle A_{1 } B_{1 }M = \angle AB B_{1 } \end{cases} \Rightarrow \angle AB B_{1 } = \angle BC C_{1 }[/tex]

Аналогично се доказва и ,че [tex]\angle AC C_{1 } = \angle BA A_{1 }[/tex]

[Гост]

Искрено благодаря!