Уравнения

[Гост]

20221202_103118.jpg (313.67 KiB) Прегледано 496 пъти

Здравейте,може ли да ми обясните как да реша двете уравнения?

[KOPMOPAH]

$~~~~~~~~~~~~~~~~2\sin\left(\frac x2+\frac {\pi}4\right)=1$

$~~~~~~~~~~~~~~~~\sin\left(\frac x2+\frac {\pi}4\right)=\frac 12$

$\boxed{1.}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~\sin\left(\frac x2+\frac {\pi}4\right)=\sin\frac {\pi}6$

$~~~~~~~~~~~~~~~~\frac x2+\frac {\pi}4=\frac {\pi}6+2k\pi$

$~~~~~~~~~~~~~~~~\frac x2=-\frac {\pi}4+\frac {\pi}6+2k\pi$

Нататък се решава като обикновено уравнение спрямо $x$.

$~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{x=-\frac{\pi}6+4k\pi}$

$\boxed{2.}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~\sin\left(\frac x2+\frac {\pi}4\right)=\sin\left(\pi-\frac {\pi}6\right)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~\frac x2+\frac {\pi}4=\pi-\frac {\pi}6+2k\pi$

$~~~~~~~~~~~~~~~~\frac x2=-\frac {\pi}4+\pi-\frac {\pi}6+2k\pi$

Нататък пак се решава като обикновено уравнение спрямо $x$.

$~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{x=\cdots}$

[S.B.]

Зад.2:
[tex]\tg^{2 }(2x) - ( \sqrt{3} +1)\tg(2x) + \sqrt{3} = 0[/tex]
Полагаш [tex]\tg(2x) = t[/tex] , заместваш в уравнението и получаваш:
[tex]t^{2 } - ( \sqrt{3} + 1)t + \sqrt{3} = 0[/tex]
[tex]D = ( \sqrt{3}+ 1) ^{2 } - 4 \sqrt{3} = 3 + 2 \sqrt{3} + 1 - 4 \sqrt{3} = 3 - 2 \sqrt{3} + 1 = ( \sqrt{3} - 1) ^{2 }[/tex]
[tex]t_{1,2 } = \frac{ \sqrt{3} + 1 \pm( \sqrt{3}- 1) }{2} \Rightarrow t_{1 } = \sqrt{3} , t_{2 } = 1[/tex]
Връщам субституцията:
[tex]\tg(2 x_{1 }) = t_{1 } \Leftrightarrow \tg(2 x_{1 }) = \sqrt{3}[/tex]
[tex]\tg(2 x_{2 }) = t_{2 } \Leftrightarrow \tg(2 x_{2 }) = 1[/tex]

Припомням правилото за решаване на [tex]\tg x = a[/tex]:
$$x = \alpha _{0 } + k \pi $$
[tex]\tg(2 x_{1 }) = \sqrt{3} \Leftrightarrow 2 x_{1 } = \frac{ \pi }{3} + k \pi \Rightarrow x_{1 } = \frac{ \pi }{6} + k \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x_{1 } = \frac{ \pi }{6}(1+ 3k)[/tex]

[tex]\tg(2 x_{2 }) = 1 \Leftrightarrow 2 x_{2 } = \frac{ \pi }{4} + k \pi \Rightarrow x_{2 } = \frac{ \pi }{8} + k \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x_{2 } = \frac{ \pi }{8}(1 + 4k)[/tex]