3 алгребрични уравнения

[Proto0o]

Как се решават следните уравнения:

1. (8x+7)^2 * (4x+3) * (x+1) = 4,5
2. (3-x)^4+(2-x)^4=(5-2x)^4 (Може с Хорнер, но исках да знам дали има някакво по-умно решение)
3. x^4 + (x+1)^4 = 17 (И тази може с Хорнер, но отново търся по-умно решение)

[S.B.]

Как се решават следните уравнения:

1. (8x+7)^2 * (4x+3) * (x+1) = 4,5
2. (3-x)^4+(2-x)^4=(5-2x)^4 (Може с Хорнер, но исках да знам дали има някакво по-умно решение)
3. x^4 + (x+1)^4 = 17 (И тази може с Хорнер, но отново търся по-умно решение)

3.[tex]x^{4 } + (x + 1)^{4 } = 17[/tex]

Полагам [tex]x + \frac{1}{2} = t \Rightarrow x = t - \frac{1}{2}[/tex]
Замествам и получавам:
[tex]x^{4 } + (x + 1) ^{4 } = 17 \Leftrightarrow (t - \frac{1}{2}) ^{4 } + (t + \frac{1}{2}) ^{4 } = 17 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{ (2t - 1)^{4 } }{16} + \frac{ (2t + 1)^{4 } }{16} = 17 \Leftrightarrow (2t - 1)^{4 } + (2t + 1)^{4 } = 272 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]16 t^{4 } - 32 t^{3 } + 24 t^{2 } - 8t +1 + 16 t^{4 } + 32 t^{3 } + 24 t^{2 } + 8t + 1 = 272[/tex]

[tex]32 t^{4 } + 48 t^{2 } - 270 = 0 \Leftrightarrow 16 t^{4 } + 24 t^{2 } - 135 = 0[/tex]

Полагам [tex]t^{2 } = y > 0[/tex]

[tex]16y^{2 } + 24y - 135 = 0 , D = 9216 = 96^{2 } , y_{1,2 } = \frac{-24 \pm 96}{32} \rightarrow y_{1 } = - \frac{120}{32}< 0 , y_{2 } = \frac{9}{16} >0[/tex]

Връщам субституцията:

[tex]t^{2 } = \frac{9}{16} \Rightarrow t_{1 } = \frac{3}{4} , t_{2 } = - \frac{3}{4}[/tex]

[tex]x_{1 } = t_{1 } - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \Rightarrow x_{1 } = \frac{1}{4}[/tex]

[tex]x_{2 } = t_{2 } - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \Rightarrow x_{2 } = - \frac{5}{4}[/tex]

______________________________________________________________________

За задача 2. опитай по следния начин:

[tex](3 - x)^{4 } + (2 - x)^{4 } = (5 - 2x)^{4 } \Leftrightarrow (3 - x)^{4 } + (2 - x)^{4 } = 16 ( \frac{5}{2} - x) ^{4 }[/tex]

Положи [tex]t = \frac{5}{2} - x \Rightarrow -x = t - \frac{5}{2}[/tex]
[tex](3 + t - \frac{5}{2}) ^{4 } + (2 + t - \frac{5}{2}) ^{4 } = 16 t^{4 } \Leftrightarrow \frac{ (2t + 1)^{4 } }{16} + \frac{ (2t - 1)^{4 } }{16} = 16 t^{4 } \Leftrightarrow[/tex]
[tex](2t + 1)^{4 } + (2t - 1)^{4 } = 256 t^{4 }[/tex]

Сега вече е по- лесно остава само да развиеш степените.Успех!

[Proto0o]

Как се решават следните уравнения:

1. (8x+7)^2 * (4x+3) * (x+1) = 4,5
2. (3-x)^4+(2-x)^4=(5-2x)^4 (Може с Хорнер, но исках да знам дали има някакво по-умно решение)
3. x^4 + (x+1)^4 = 17 (И тази може с Хорнер, но отново търся по-умно решение)

3.[tex]x^{4 } + (x + 1)^{4 } = 17[/tex]

Полагам [tex]x + \frac{1}{2} = t \Rightarrow x = t - \frac{1}{2}[/tex]
Замествам и получавам:
[tex]x^{4 } + (x + 1) ^{4 } = 17 \Leftrightarrow (t - \frac{1}{2}) ^{4 } + (t + \frac{1}{2}) ^{4 } = 17 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{ (2t - 1)^{4 } }{16} + \frac{ (2t + 1)^{4 } }{16} = 17 \Leftrightarrow (2t - 1)^{4 } + (2t + 1)^{4 } = 272 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]16 t^{4 } - 32 t^{3 } + 24 t^{2 } - 8t +1 + 16 t^{4 } + 32 t^{3 } + 24 t^{2 } + 8t + 1 = 272[/tex]

[tex]32 t^{4 } + 48 t^{2 } - 270 = 0 \Leftrightarrow 16 t^{4 } + 24 t^{2 } - 135 = 0[/tex]

Полагам [tex]t^{2 } = y > 0[/tex]

[tex]16y^{2 } + 24y - 135 = 0 , D = 9216 = 96^{2 } , y_{1,2 } = \frac{-24 \pm 96}{32} \rightarrow y_{1 } = - \frac{120}{32}< 0 , y_{2 } = \frac{9}{16} >0[/tex]

Връщам субституцията:

[tex]t^{2 } = \frac{9}{16} \Rightarrow t_{1 } = \frac{3}{4} , t_{2 } = - \frac{3}{4}[/tex]

[tex]x_{1 } = t_{1 } - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \Rightarrow x_{1 } = \frac{1}{4}[/tex]

[tex]x_{2 } = t_{2 } - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \Rightarrow x_{2 } = - \frac{5}{4}[/tex]

______________________________________________________________________

За задача 2. опитай по следния начин:

[tex](3 - x)^{4 } + (2 - x)^{4 } = (5 - 2x)^{4 } \Leftrightarrow (3 - x)^{4 } + (2 - x)^{4 } = 16 ( \frac{5}{2} - x) ^{4 }[/tex]

Положи [tex]t = \frac{5}{2} - x \Rightarrow -x = t - \frac{5}{2}[/tex]
[tex](3 + t - \frac{5}{2}) ^{4 } + (2 + t - \frac{5}{2}) ^{4 } = 16 t^{4 } \Leftrightarrow \frac{ (2t + 1)^{4 } }{16} + \frac{ (2t - 1)^{4 } }{16} = 16 t^{4 } \Leftrightarrow[/tex]
[tex](2t + 1)^{4 } + (2t - 1)^{4 } = 256 t^{4 }[/tex]

Сега вече е по- лесно остава само да развиеш степените.Успех!

Много благодаря за решенията! Само че на трета си сбъркал [tex]y_{2 }[/tex] = 9/4, а не [tex]y_{2 }[/tex] = 9/16.

[Евва]

1 зад. [tex]( 8х+7)^{2 }[/tex](4х+3)(х+1) =4,5

полагам a=8x+7 ,b=4x+3 ,c=x+1

[tex]\begin{array}{|l} a^{2 } bc = 4,5 \\ a-2b= 1\\b-4c= -1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a^{2 } bc = 4,5\\ b= \frac{a-1}{2} \\c= \frac{b+1}{4}=\frac{a+1}{8} \end{array}[/tex] заместваме

[tex]а^{2 }[/tex].[tex]\frac{a-1}{2}[/tex].[tex]\frac{a+1}{8}[/tex]=4,5

[tex]а^{2 }[/tex]([tex]а^{2 }[/tex]-1)=72
[tex]а^{4 } -а^{2 }[/tex]-72=0
Намираме корените 3 и -3 [tex]\Rightarrow[/tex] 8х+7=3 ,или 8х+7= -3
[tex]x_{1 }[/tex]= -[tex]\frac{1}{2}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex]= -[tex]\frac{5}{4}[/tex]

2 зад. Положи 3-x=a , 2-x=b

[tex]\begin{array}{|l} a^{4 }+ b^{4 } = (a+b)^{4 } \\ a - b = 1 \end{array}[/tex]

Получаваме a=0 ,или b=0 [tex]\Rightarrow[/tex] 3-х=0 ,или 2-х=0 .
[tex]x_{1 }[/tex]=3 и [tex]x_{2 }[/tex]=2