Вписана сфера

[Гост]

Центърът на сфера, вписана в правилна триъгълна пирамида(аз я означих с ABCD, центърът на сферата с O и D се проектира ортогонално в [tex]D_{1 }[/tex]), разделя височината на пирамидата в отношение [tex]\frac{m}{n}[/tex], считано от върха й. Ако частите, на които се разделя пирамидата от равнина, минаваща през един от основните ръбове и центъра на сферата, са равнообемни да се намери отношението [tex]\frac{m}{n}[/tex]. Имам проблем въобще с изобразяването на равнината върху чертежа, ако някой може да помогне…

[ammornil]

Центърът на сфера, вписана в правилна триъгълна пирамида(аз я означих с ABCD, центърът на сферата с O и D се проектира ортогонално в [tex]D_{1 }[/tex]), разделя височината на пирамидата в отношение [tex]\frac{m}{n}[/tex], считано от върха й. Ако частите, на които се разделя пирамидата от равнина, минаваща през един от основните ръбове и центъра на сферата, са равнообемни да се намери отношението [tex]\frac{m}{n}[/tex]. Имам проблем въобще с изобразяването на равнината върху чертежа, ако някой може да помогне…

221231_002.png (21.2 KiB) Прегледано 597 пъти

[tex][/tex]
Според мен е така...
[tex]AM = MB=BN=NC=CP=AP[/tex], [tex]D_{1}-\text{пресечна точка на симетралите на основата}[/tex], [tex]D_{1}M \bot AB, D_{1}N \bot BC, D_{1}P \bot AC, DD_{1} \bot p(ABC), OD_{1} \text{е радиус на вписаната сфера с център точката О}[/tex]
[tex]p(BCО) \text{е равнината която разделя пирамидата на две равнообемни триъгълни пирамиди и пресича околния ръб } AD \text{ в точка } Q[/tex]
[tex]BQ=CQ (\text{от еднаквост на триъгълници } \triangle BQD \cong \triangle CQD \left[\text{всички околни стени на правилния тетраедър са еднакви} \begin{cases} \angle BDQ = \angle CDQ \\ BD=CD \\ DQ-\text{обща} \end{cases} \right]) \Rightarrow \triangle BQC \text{ равнобедрен и } O \in NQ[/tex]

[S.B.]

Центърът на сфера, вписана в правилна триъгълна пирамида(аз я означих с ABCD, центърът на сферата с O и D се проектира ортогонално в [tex]D_{1 }[/tex]), разделя височината на пирамидата в отношение [tex]\frac{m}{n}[/tex], считано от върха й. Ако частите, на които се разделя пирамидата от равнина, минаваща през един от основните ръбове и центъра на сферата, са равнообемни да се намери отношението [tex]\frac{m}{n}[/tex]. Имам проблем въобще с изобразяването на равнината върху чертежа, ако някой може да помогне…

Без заглавие - 2023-01-01T165645.145.png (451.58 KiB) Прегледано 579 пъти

Щом търсената равнина минава през основен ръб и центъра на вписаната сфера,то тя е ЪГЛОПОЛОВЯЩАТА РАВНИНА на двустенния ъгъл при основата.
$D$ се проектира върху медицентъра на основата - т.[tex]D_{1 }[/tex]
Ако построиш сечението [tex]KCD[/tex] по медианата $CK$ и апотемата $KD$ ще получиш [tex]\triangle KCD[/tex] в който въпросната равнина се изобразява на чертежа като ъглополовящата $KL$ на [tex]\angle DKC[/tex]

Скрит текст: покажи

Не забравяй,че сферата с допира само до стените на пирамидата!$DC$ е околен ръб,до който сферата няма как да се допре

[ammornil]

S.B.: Отношението [tex]\frac{m}{n}[/tex] е считано от върха (на Вашия чертеж са обърнати).

Върхът на триъгълна пирамида с равни околни ръбове се проектира в центъра на описата около основата окръжност, който е пресечна точка на симетралите (в частния случай тук, понеже основата е равностранен триъгълник, това съвпада с медицентъра).

[S.B.]

S.B.: Отношението [tex]\frac{m}{n}[/tex] е считано от върха (на Вашия чертеж са обърнати).

Върхът на триъгълна пирамида с равни околни ръбове се проектира в центъра на описата около основата окръжност, който е пресечна точка на симетралите (в частния случай тук, понеже основата е равностранен триъгълник, това съвпада с медицентъра).

За отношението сте прав - обърнато е,за което се извинявам!
Пирамидата е правилна,което предполага,че основата е равностранен триъгълник.Това съм имала предвид.

[S.B.]

Без заглавие - 2023-01-02T161123.176.png (536.61 KiB) Прегледано 553 пъти

Както казах вече в предишния пост щом равнината минава през основен ръб и центъра на вписаната сфера ,то тя е ъглополовящата равнина на двустенния ъгъл при основата.
Нека основният ръб на пирамидата е $a$
В сечението $DKC$ тази равнина се изобразява като ъглополовящата $KL$ на [tex]\angle DKC , L \in DC[/tex]
[tex]L L_{1 } \bot KC , L L_{2 } \bot KD \Rightarrow L L_{1 } = L L_{2 } = d[/tex] (като разстояния от точка от ъглополовящата до раменете на ъгъла)
По условие равнината $ABL$ разделя пирамидата на две равнообемни тела:
[tex]V_{ABDL } = V_{ABCL } \Leftrightarrow \frac{ S_{ABD }.d }{3} = \frac{ S_{ABC }.d }{3} \Leftrightarrow S_{ABD }= S_{ABC } \Leftrightarrow \frac{a.KD}{2} = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4} \Rightarrow KD = \frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]
Пирамидата е правилна ,триъгълна [tex]\Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равностранен.
Върхът $D$ се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност,
който съвпада с медицентъра [tex]D_{1 }[/tex] на [tex]\triangle ABC \Rightarrow D_{1 }K = \frac{1}{3}CK \Rightarrow D_{1 }K = \frac{a \sqrt{3} }{6}[/tex]
За [tex]\triangle KD_{1 } D[/tex] прилагам свойството на ъглополовящата:
[tex]\displaystyle\frac{DK}{ D_{1 }K } =\displaystyle \frac{DO}{O D_{1 } } \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a \sqrt{3} }{2} }{\displaystyle \frac{a \sqrt{3} }{6} } = \displaystyle \frac{m}{n} \Rightarrow[/tex]
$$\frac{m}{n} = \frac{3}{1} $$