Домашна Работа за утре! Геометрични модели - Ротационни тела

[Гост]

Правоъгълен триъгълник с хипотенуза c е завъртян около хипотенузата си. Полученото ротационно тяло има обем V. Намерете повърхнината на тялото, ако: А) c=25cm, V=1200[tex]\pi[/tex] [tex]cm^{3}[/tex] Б) c=13cm, V=[tex]\frac{1200\pi}{13}[/tex][tex]cm^{3 }[/tex]

[Гост]

Сега ли се сети?! Какво прави цяла събота и цяла неделя?

[ammornil]

230108_003.png (18.95 KiB) Прегледано 556 пъти

[tex]V=\frac{1}{3}.\pi.CM^{2}.AM+\frac{1}{3}.\pi.CM^{2}.BM=\frac{1}{3}.\pi.CM^{2}.(AM+BM)=\frac{1}{3}.\pi.CM^{2}.AB \Rightarrow[/tex]
$$ CM=\sqrt{\frac{3V}{\pi.AB}} $$
[tex]\frac{AB.CM}{2}=\frac{AC.BC}{2} \Rightarrow AC.BC=AB.CM=AB.\sqrt{\frac{3V}{\pi.AB}}=\sqrt{\frac{3.AB.V}{\pi}}[/tex]
[tex](AC+BC)^{2}=\underbrace{AC^{2}+BC^{2}}_{AB^{2}}+2.AC.BC \Rightarrow (AC+BC)^{2}=AB^{2}+2\sqrt{\frac{3.AB.V}{\pi}}[/tex]
$$ AC+BC=\sqrt{AB^{2}+2\sqrt{\frac{3.AB.V}{\pi}}} $$

[tex]S_{1}=2.\pi.MC.AC+2.\pi.MC.BC=2.\pi.MC(AC+BC) \Rightarrow[/tex]
$$ S_{1}=2.\pi.\sqrt{\frac{3V}{\pi.AB}}.\sqrt{AB^{2}+2\sqrt{\frac{3.AB.V}{\pi}}}$$

(а) [tex]AB=25\ cm, V=1200\pi\ cm^{3}[/tex]

[tex]S_{1}=2.\pi.\sqrt{\frac{3.1200.\pi}{\pi.25}}.\sqrt{25^{2}+2\sqrt{\frac{3.25.1200.\pi}{\pi}}} \Leftrightarrow S_{1}=2.\pi.\sqrt{144}.(\sqrt{625+2\sqrt{90000}}) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S_{1}=2.\pi.12.35 \Leftrightarrow S_{1}=840.\pi \ cm^{2}[/tex]

[mail_dinko]

Мисля, че не трябва да има двойка при изразяването на пълната повърхнина, която представлява сбор от двете околни повърхнини на допиращите се конуси
[tex]S_1 = \pi . CM . CA + \pi . CM. CB = \pi CM (AC+CB) = 420 \pi[/tex]

[ammornil]

Мисля, че не трябва да има двойка при изразяването на пълната повърхнина, която представлява сбор от двете околни повърхнини на допиращите се конуси
[tex]S_1 = \pi . CM . CA + \pi . CM. CB = \pi CM (AC+CB)[/tex]

Вие сте прав, mail_dinko. За прав кръгов конус, околната повърхнина няма коефициент отпред. Благодаря за корекцията.

[tex]S_{1}=S_{CC_{1}A}+S_{CC_{1}B}=\pi.r.l_{CC_{1}A}+\pi.r.l_{CC_{1}B}[/tex], отговорът на (а) е [tex]420\pi[/tex]


[tex]V=\frac{1}{3}.\pi.CM^{2}.AM+\frac{1}{3}.\pi.CM^{2}.BM=\frac{1}{3}.\pi.CM^{2}.(AM+BM)=\frac{1}{3}.\pi.CM^{2}.AB \Rightarrow[/tex]
$$ CM=\sqrt{\frac{3V}{\pi.AB}} $$
[tex]\frac{AB.CM}{2}=\frac{AC.BC}{2} \Rightarrow AC.BC=AB.CM=AB.\sqrt{\frac{3V}{\pi.AB}}=\sqrt{\frac{3.AB.V}{\pi}}[/tex]
[tex](AC+BC)^{2}=\underbrace{AC^{2}+BC^{2}}_{AB^{2}}+2.AC.BC \Rightarrow (AC+BC)^{2}=AB^{2}+2\sqrt{\frac{3.AB.V}{\pi}}[/tex]
$$ AC+BC=\sqrt{AB^{2}+2\sqrt{\frac{3.AB.V}{\pi}}} $$

[tex]S_{1}=\pi.MC.AC+\pi.MC.BC=\pi.MC(AC+BC) \Rightarrow[/tex]
$$ S_{1}=\pi.\sqrt{\frac{3V}{\pi.AB}}.\sqrt{AB^{2}+2\sqrt{\frac{3.AB.V}{\pi}}}$$

[mail_dinko]

Не съм съгласен (може и да греша), но така изразения сбор от лица на триъгълници дава лице на осното сечение, а не на тялото
За втория случай получавам
[tex]S_1 = \frac {1020 \pi}{13}[/tex]

[ammornil]

Не съм съгласен (може и да греша), но така изразения сбор от лица на триъгълници дава лице на осното сечение, а не на тялото
За втория случай получавам
[tex]S_1 = \frac {1020 \pi}{13}[/tex]

Ако погледнете формулите ще видите, че са лица на околната повърхнина на конусите, а не на сеченията. Просто нямам как да обознача конус по друг начин, освен ако не именувам и цитирам всяка точка от окръжността на основата.

[Гост]

За б) получавам S1 = 2040[tex]\pi^{2}[/tex][tex]cm^{2}[/tex]

[mail_dinko]

Не съм съгласен (може и да греша), но така изразения сбор от лица на триъгълници дава лице на осното сечение, а не на тялото
За втория случай получавам
[tex]S_1 = \frac {1020 \pi}{13}[/tex]

Ако погледнете формулите ще видите, че са лица на околната повърхнина на конусите, а не на сеченията. Просто нямам как да обознача конус по друг начин, освен ако не именувам и цитирам всяка точка от окръжността на основата.

Стана ми наистина интересно, явно някъде имам неточност. Откъде идват двойките във вашата формула. Нали околна повърхн. на конус се намира по ф-лата
[tex]S = \pi .r.l[/tex]
В случая съставяме за два конуса 2 формули и ги събираме, имат общ радиус CM. Моля да ми обясните.

[ammornil]

Двоките бяха грешка. която благодарение на Вашата бележка, коригирах.

[Евва]

б) [tex]V_{рот.тяло }[/tex]=[tex]\frac{1200. \pi }{13}[/tex]
[tex]V_{горен конус }[/tex]+[tex]V_{долен конус }[/tex]=[tex]\frac{1200. \pi }{13}[/tex]

[tex]\frac{ \pi СМ^{2 }.ВМ }{3}[/tex]+[tex]\frac{ \pi СМ^{2 }.АМ }{3}[/tex]=[tex]\frac{1200 \pi }{13}[/tex]

[tex]\frac{ СМ^{2 }(ВМ+АМ) }{3}[/tex]=[tex]\frac{1200}{13}[/tex]

[tex]\frac{ СМ^{2 }.13 }{3}[/tex]=[tex]\frac{1200}{13}[/tex]

CM=r=[tex]\frac{60}{13}[/tex] см.

[tex]S_{рот.тяло }[/tex]=[tex]S_{горен конус }+ S_{долен конус }[/tex]=

=[tex]\pi[/tex]CM.BC+[tex]\pi[/tex]CM.AC= [tex]\pi[/tex]CM(BC+AC)=

=[tex]\pi[/tex][tex]\frac{60}{13}[/tex][tex]\sqrt{ BC^{2 }+ AC^{2 } +2AC.BC}[/tex]=

=[tex]\frac{60}{13}[/tex][tex]\pi[/tex][tex]\sqrt{ АВ^{2 } +2AB.CM}[/tex]=

=[tex]\frac{60}{13}[/tex][tex]\pi[/tex][tex]\sqrt{169+2.13. \frac{60}{13} }[/tex]=

=[tex]\frac{60}{13}[/tex][tex]\pi[/tex].17=

=[tex]\frac{1020 \pi }{13}[/tex] [tex]см.^{2 }[/tex]

За а) получих както колегата отг. 420[tex]\pi[/tex] [tex]см.^{2 }[/tex]