4 задачи

[Гост]

Зад 1: Да се определят коефицентите m и n, ако е известно, че Функцията f(x) = [tex]\frac{1}{3} x^{3 }[/tex]+(m-3)[tex]x^{2 }[/tex]-(n+10)x+10 Има за x = -3 локален максимум равен на 37

Зад 2: Да се намерят най-голямата и най-малката стойност на функцията f(x) = 2.[tex]5^{3x }[/tex]+3.[tex]5^{2x }[/tex]-15.[tex]5^{x }[/tex] в интервала [-1;1]

Зад 3: Правите g и m са допирателни към дадената крива в дадените точки. Да се намери пресечната точка на g и m.
[tex]\frac{ x^{2 } }{30}[/tex]+[tex]\frac{ y^{2 } }{6}[/tex] = 1 ([tex]\frac{5}{3}[/tex] ; [tex]\frac{7}{3}[/tex]) ; (5;1)

Зад 4: Триъгълник ABC има страна AB = 14см, лице = 35[tex]см^{2 }[/tex] и периметър = 36см. Да се намери обема и лицето на повърхнината на тялото получено при завъртането на триъгълника ABC около AB.

[ammornil]

Зад 1: Да се определят коефицентите m и n, ако е известно, че Функцията [tex]f(x) = \frac{1}{3} x^{3 }+(m-3)x^{2 }-(n+10)x+10[/tex]Има за x = -3 локален максимум равен на 37.
От условието следва, че [tex]f(-3)=37[/tex], [tex]f'(-3)=0[/tex], [tex]f''(-3)<0[/tex]. [tex]\hspace{10em} f'(x)=3.\frac{1}{3}.x^{2}+2(m-3)x-(n+10)=x^{2}+2(m-3)x-n-10[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \large{\frac{1}{3}}\normalsize{ (-3)^{3 }+(m-3)(-3)^{2 }-(n+10)(-3)+10 = 37} \\ (-3)^{2}+2(m-3)(-3)-n-10=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} -9+9m-27+3n+30+10-37=0 \\9-6m+18-n-10 =0 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} 9m+3n-33=0 |:3 \\ -6m-n+17 = 0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 3m+n=11 \\ -6m-n=-17 \end{array}[/tex]
Ако съберем почленно получаваме [tex]3m-6m+n-n=11-17 \Leftrightarrow -3m=-6 \Leftrightarrow m=2[/tex]

[tex]\rightarrow \begin{array}{|l} m=2 \\ 3m+n=11 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m=2 \\ 6+n=11 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m=2 \\ n=5 \end{array}[/tex]

[ammornil]

Зад 2: Да се намерят най-голямата и най-малката стойност на функцията [tex]f(x) = 2.5^{3x }+3.5^{2x }-15.5^{x }[/tex] в интервала [tex]x \in [-1;1][/tex]
Тука ми се получиха някакви криви числа, моля проверете да нямам грешка в изичлсенията, която не мога да намеря.

[tex]f(x)=2.5^{3x}+3.5^{2x}-15.5^{x} \Rightarrow f(x)=2.(5^{x})^{3}+3.(5^{x})^{2}-15.5^{x}[/tex]

[tex]5^{x}=u > 0, x \in [-1;1] \Rightarrow u \in \left[ \frac{1}{5};5 \right] \hspace{4em} \Rightarrow f(u)=2u^{3}+3u^{2}-15u \hspace{4em} \rightarrow f'(u)=6u^{2}+6u-15 \hspace{4em} \rightarrow f''(u)=12u+6[/tex]

[tex]f'(u)=0 \Rightarrow 6u^{2}+6u-15=0 \Rightarrow u_{1,2}=\frac{-3\mp\sqrt{(-3)^{2}-6.(-15)}}{6}=\frac{-3\mp3\sqrt{11}}{2.3}=\frac{-1\mp\sqrt{11}}{2}[/tex]

Screenshot 2023-01-16 182230.png (11.88 KiB) Прегледано 525 пъти

Нанасяме нулите на първата производна и определяме интервалите на растене и намаляване на функцията. Пресичаме ги с дефинициония интервал за функцията и получаваме, че локания максимум на функцията е извън дадения интервал. Локалния минимум е в интервала. Тогава, максимумът ще е по-голамата от стойностите на функцията в двата края на интервала, а минимума ще е стойността на функцията за [tex]u=\frac{-1+\sqrt{11}}{2}[/tex]

[tex]f(u)_{max}: \begin{cases} \large{f\left( \frac{1}{5} \right) = 2.\frac{1}{125}+ 3.\frac{1}{25}-15.\frac{1}{5}=\frac{2+3.5-15.25}{125}}=-\frac{358}{125} < 0 \\ f(5)= 2.5^{3}+3.5^{2}-15.5=250+75-75=250 > 0 \end{cases} \Rightarrow f(u)_{max}=f(5)=250[/tex]

[tex]f(u)_{min}=f \left( \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \right)=2.\left( \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \right)^{3}+3.\left( \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \right)^{2}-15.\left( \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \right)[/tex]

[tex]f(u)_{min} = 2.\frac{11\sqrt{11}-3.11.1+3.\sqrt{11}.1^{2}-1^{3}}{8}+3.\frac{11-2.\sqrt{11}.1+1}{4}-\frac{15\sqrt{11}-15}{2}=\frac{14\sqrt{11}-4}{4}+\frac{3(12-2\sqrt{11})}{4}-\frac{2(15\sqrt{11}-15)}{4}[/tex]

[tex]f(u)_{min} =\frac{14\sqrt{11}-4+36-6\sqrt{11}-30\sqrt{11}+30}{4}=\frac{62-22\sqrt{11}}{4}=\frac{31-11\sqrt{11}}{2}[/tex]

Функцията има максимум при [tex]u=5 \Rightarrow x=\log_{5}{5}=1[/tex]
Фунцкията има минимум при [tex]u=\frac{-1+\sqrt{11}}{2} \Rightarrow x=\log_{5}{\frac{-1+\sqrt{11}}{2}}[/tex]

[ammornil]

Зад 4: Триъгълник ABC има страна AB = 14см, лице = 35[tex]см^{2 }[/tex] и периметър = 36см. Да се намери обема и лицето на повърхнината на тялото получено при завъртането на триъгълника ABC около AB.

Полученото тяло представлява два конуса с обща основа.

230116_001.png (11.46 KiB) Прегледано 524 пъти

Радиусът на основата на конусите е равен на височината [tex]h_{c} \Rightarrow r=h_{c}=\frac{2S}{AB}=\frac{2.35}{14}=5\ cm[/tex]
[tex]AC+BC=P-AB=36-14=22\ cm[/tex]

Повърхнинанта на тялото е равна на сумата от околните повърхнини на двата конуса
[tex]S_{1}=\pi.r.AC+\pi.r.BC=\pi.r.(AC+BC)=\pi.5.22=110\pi\ cm^{2}[/tex]

Обемът на тялото е равен на сбора от обемите на двата конуса:
[tex]V=\frac{1}{3}.\pi.r^{2}.AO+\frac{1}{3}.\pi.r^{2}.BO=\frac{1}{3}.\pi.r^{2}.(AO+BO)=\frac{1}{3}.\pi.r^{2}.AB=\frac{1}{3}.\pi.5^{2}.14=\frac{350}{3}\pi\ cm^{3}[/tex]

[ammornil]

За тази задача предлагам решение, но не гарантирам че е вярно

Зад 3: Правите g и m са допирателни към дадената крива в дадените точки. Да се намери пресечната точка на g и m.
[tex]\frac{ x^{2 } }{30}[/tex]+[tex]\frac{ y^{2 } }{6}[/tex] = 1 ([tex]\frac{5}{3}[/tex] ; [tex]\frac{7}{3}[/tex]) ; (5;1)

Имаме уравнение на елипса [tex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \rightarrow \frac{x^{2}}{\sqrt{30^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{6^{2}}}=1[/tex]

Уравнението на допирателна към елипса [tex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/tex] в точката [tex]M(x_{M};y_{m})[/tex] e [tex]p: \frac{x_{M}.x}{a^{2}}+\frac{y_{M}.y}{b^{2}}=1[/tex]

За допирателната в точка [tex]A\left( \frac{5}{3}; \frac{7}{3} \right)[/tex] получаваме уравнение [tex]\frac{\frac{5}{3}.x}{30}+\frac{\frac{7}{3}.y}{6}=1 \Leftrightarrow \underbrace{\frac{5x}{90}+\frac{7y}{18}=1}_{90} \Leftrightarrow 5x+35y=90 \Rightarrow g: 5x+35y-90=0[/tex]
Спрямо [tex]y[/tex] имаме [tex]g: y=\frac{90-5x}{35}[/tex]

За допирателната в точка [tex]B(5;1)[/tex] получаваме уравнение [tex]\frac{5.x}{30}+\frac{1.y}{6}=1 \Leftrightarrow \underbrace{\frac{x}{6}+\frac{y}{6}=1}_{6} \Leftrightarrow x+y=6 \Rightarrow m: x+y-6=0[/tex]
Спрямо [tex]y[/tex] имаме [tex]m: y=6-x[/tex]

Двете прави се пресичат там, където уравненията им имат равни стойности на [tex]y \Rightarrow \underbrace{\frac{90-5x}{35}=6-x}_{35} \Leftrightarrow 90-5x = 35(6-x) \Leftrightarrow 90-5x=210-6x \Leftrightarrow x=120[/tex]
[tex]y=6-x=-114[/tex]

Допирателните се пресичат в точка [tex]C(120;-114)[/tex]