Ирационални неравенства

[Proto0o]

1. [tex]\sqrt{25-x^2}[/tex]+[tex]\sqrt{x^2+7x}[/tex]>3
Направих 2 системи
[tex]\begin{array}{|l} 3 - \sqrt{x^2+7x} >= 0 \\ 25 - x^2 > 9 - 2* \sqrt{x^2+7x} + x^2 + 7x \end{array}[/tex]
U
[tex]\begin{array}{|l} 3 - \sqrt{x^2+7x} < 0 \\ 25 - x^2 >= 0 \end{array}[/tex]
И от Д.С намерих, че x[tex]\in[/tex] [0;5]

И на втората получих x[tex]\in[/tex] (-7+sqrt*85)/2;5]
А на първата реших само първото уравнение и получих x[tex]\in[/tex] [(-7-sqrt(85)/2; (-7+sqrt(85)/2], за второто има ли по-лесен начин или трябва с Хорнер? Защото се получават огормни числа и трудно ще се реши. Получавам нещо от сорта на 4 x^2 + 28 x>4 x^4 + 28 x^3 - 15 x^2 - 224 x + 256

2. [tex]\sqrt{2x - 1}[/tex] + [tex]\sqrt{3x - 2}[/tex] < [tex]\sqrt{4x - 3}[/tex] + [tex]\sqrt{5x - 4}[/tex]

[pal702004]

Нищо не трябва да правиш, освен:
1) Намираш дефиниционната област.
2) Показваш, че в ДО поне един от двата радикала е по-голям от 3. Тоест, цялата ДО е решение.

[Proto0o]

Нищо не трябва да правиш, освен:
1) Намираш дефиниционната област.
2) Показваш, че в ДО поне един от двата радикала е по-голям от 3. Тоест, цялата ДО е решение.

Как да покажа, че поне един от двата корена е по-голям от 3? Да заместя със стойност от интервала?

[pal702004]

Каква е ДО?

[Proto0o]

Каква е ДО?

ДО е x [tex]\in[/tex] [0;5]

[pal702004]

Правилно, сега можем ли да решим $25-x^2>9$

Интересуват ни само $x$ от ДО

[pal702004]

Всъщност след определяне на ДО можеш спокойно да повдигнеш на квадрат, ще се получи

$25-x^2+x^2+7x+2 \sqrt{25-x^2}\sqrt{x^2+7x}>9$

Преместваме девятката вляво, квадратите се унищожават, радикалите са неотрицателни, $x \ge 0$ - не е ли очевидно

[Proto0o]

Правилно, сега можем ли да решим $25-x^2>9$

Интересуват ни само $x$ от ДО

Откъде идва това неравенство?

[Proto0o]

Всъщност след определяне на ДО можеш спокойно да повдигнеш на квадрат, ще се получи

$25-x^2+x^2+7x+2 \sqrt{25-x^2}\sqrt{x^2+7x}>9$

Преместваме девятката вляво, квадратите се унищожават, радикалите са неотрицателни, $x \ge 0$ - не е ли очевидно

Радикалите са неотрицателни при Д.С, но от тук не трябва ли да продължим да вдигаме на втора докато не разкрием корените и да получим x? Смисъл от тук да стане:

2 sqrt(25 - x^2) sqrt(x (x + 7))> -7x-16
4*(25-x^2)*(x*x+7) > (7x+16)^12

И от тук ми дойде проблема, че се получават 4,3,2,1,0 степени на x.

[Евва]

2 зад. Може и да греша някъде ,но ето една идея от мен .
ДО :[tex]\begin{array}{|l} 2x -1 \ge0\\ 3x - 2 \ge 0 \\4x-3 \ge 0 \\5x-4 \ge 0\end{array}[/tex]
получаваме ДО х[tex]\in[/tex][ 0,8 ;+[tex]\infty[/tex])

[tex]\sqrt{2x-1}[/tex] -[tex]\sqrt{5x-4}[/tex] < [tex]\sqrt{4x-3}[/tex] -[tex]\sqrt{3x-2}[/tex]

2х-1-2[tex]\sqrt{(2x-1)(5х-4)}[/tex] +5х-4 < 4х-3-2[tex]\sqrt{(4x-3)(3х-2)}[/tex] +3х-2

Скрит текст: покажи

Вдигаме на втора степен .

4(10[tex]x^{2 }[/tex]-8х-5х+4) <4(12[tex]x^{2 }[/tex]-8х-9х+6) |:4>0

10[tex]x^{2 }[/tex]-13х+4 <12[tex]x^{2 }[/tex]-17х+6

0<2[tex]x^{2 }[/tex]-4х+2 |:2 >0

[tex]x^{2 }[/tex]-2х+1 >0

[tex](x-1)^{2 }[/tex] >0
Решение на това неравенство е всяко х освен 1 .

Отг. х[tex]\in[/tex][ 0,8 ;1) [tex]\cup[/tex] (1 ;+[tex]\infty[/tex])

[pal702004]

Евва, грешиш, защото

При $x<1$
$2x-1>3x-2>4x-3>5x-4$
И лявата страна ще е по-голяма от дясната (неравенството не е изпълнено)

При $x>1$ - обратно
$2x-1<3x-2<4x-3<5x-4$

Така че отговора трябва да е $x \in (1;+\infty)$