Задачи

[Гост]

Решете неравенствата:

[tex]\sqrt{ 5 x^{2 } - 30х + 45}[/tex] < 2[tex]\sqrt{5}[/tex]

[tex]\sqrt{12x - 3 x^{2 } }[/tex] [tex]\ge[/tex] 6 - х

3[tex]\sqrt{25 - x^{2 } }[/tex] + 4х < 25

[ammornil]

[tex](1)[/tex]
[tex]\sqrt{ 5 x^{2 } - 30x + 45}< 2\sqrt{5}[/tex]
[tex]\text{ДМ: } 5 x^{2 } - 30x + 45 \ge 0 |:5 \Leftrightarrow x^{2}-6x+9 \ge 0 \Leftrightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2} \ge 0 \Leftrightarrow (x-3)^{2} \ge 0 \Rightarrow \forall x \in R[/tex]
[tex](\sqrt{ 5 x^{2 } - 30x + 45})^{2}< (2\sqrt{5})^{2} \Leftrightarrow \sqrt{ 5 x^{2 } - 30x + 45} < 4 \cdot 5 \Leftrightarrow 5x^{2}-30x+25 < 0 |:5 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-6x+5 < 0 \rightarrow D=(-3)^{2}-1\cdot 5 =9-5=4 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{3\mp \sqrt{4}}{1} \begin{cases} x_{1}=1 \\ x_{2}=5 \end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow 1(x-1)(x-5)<0 \Rightarrow x \in (1;5)[/tex]

[tex](2)[/tex]
[tex]\sqrt{12x - 3 x^{2 } }\ge 6 - x[/tex]
[tex]\text{ДМ: } 12x - 3 x^{2 } \ge 0 |:(-3) \text{(понеже делим с отрицателно число, знакът на неравенството променя посоката си)} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-4x \le 0 \Leftrightarrow x(x-4) \le 0 \Leftrightarrow x \in [0;4], \text{ (забележете, че } 6-x >0 \> \forall x \in \text{ДМ: )}[/tex]
[tex](\sqrt{12x - 3 x^{2 } })^{2} \ge (6 - x)^{2} \Leftrightarrow 12-3x^{2} \ge 36-12x+x^{2} \Leftrightarrow 4x^{2}-9x+24 \le 0[/tex]
[tex]\rightarrow D=(-9)^{2}-4\cdot 4\cdot 24 <0 \rightarrow \begin{cases} 4x^{2}-9x+24 \le 0 \\ a=4 > 0 \\ D< 0 \end{cases} \Rightarrow \nexists x \in R[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\text{няма реални корени на неравенството}[/tex]

[tex](3)[/tex]
3[tex]\sqrt{25 - x^{2 } } + 4x < 25[/tex]
[tex]\text{ДМ: } 25-x^{2} \ge 0 |.(-1) \text{(понеже умоножаваме с отрицателно число, знакът на неравенството променя посоката си)} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-5^{2}\le 0 \Leftrightarrow (x-5)(x+5) \le 0 \Rightarrow x \in [-5;5][/tex]
[tex](3\sqrt{25-x^{2}})^{2} < (25-4x)^{2} \Leftrightarrow 9(25-x^{2})<625 -200x +16x^{2} \Leftrightarrow 225-9x^{2}<625 -200x +16x^{2} \Leftrightarrow 25x^{2} -200x +400 > 0 |:25 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^{2}-8x+16 > 0 \Leftrightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2} > 0 \Leftrightarrow (x-4)^{2} > 0 \Rightarrow x \in (- \infty;4) \cup (4;+ \infty)[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \text{ДМ: } x \in [-5;5] \\(- \infty;4) \cup (4;+ \infty) \end{array} \Rightarrow x \in [-5;4) \cup (4;5][/tex]