Основата на призма с обем 36 е успоредник със страни 3 и 4 и

[Гост]

5. Основата на призма с обем 36 е успоредник със страни 3 и 4 и ъгъл 60[tex]^\circ[/tex]. Околният ѝ ръб е 4. Ъгълът между околния ръб и основата е:
А) 30[tex]^\circ[/tex] Б) 45[tex]^\circ[/tex] В) 60[tex]^\circ[/tex] Г) 90[tex]^\circ[/tex]
6. Дадено е уравнението (k+1)[tex]lg^{2 }[/tex]x-3k[tex]lgx[/tex]+k=0 където k е параметър.
б) За кои стойности на k уравнението има реални корени [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex], за които [tex]10x_{1 } x_{2 }[/tex]=[tex]10^{4k }[/tex]?
в) За кои стойности на k уравнението има точно едно решение, по-голямо от 1?
8. Дадена е правата призма [tex]AMNA_{1 } M_{1 } N_{1 }[/tex] с основа [tex]\triangle[/tex]AMN и околен ръб А[tex]А_{1 }[/tex]=b. Пирамидата ABCD е такава, че точките M и N лежат съответно на основните ѝ ръбове AB и AC, [tex]M_{1 }[/tex] и [tex]N_{1 }[/tex] - на ръбовете DB и DC, а [tex]A_{1 }[/tex] лежи на AD.
а) Да се пресметне височината на пирамидата ABCD през върха D, ако обемът ѝ е възможно най-малък.
б) Нека [tex]\triangle[/tex]ABC е равнобедрен и правоъгълен с хипотенуза AB. Ако AD=3b и MN=b[tex]\sqrt{2}[/tex], то да се намерят ъгълът и разстоянието между правите BC и AD.

[ammornil]

5. Основата на призма с обем 36 е успоредник със страни 3 и 4 и ъгъл 60[tex]^\circ[/tex]. Околният ѝ ръб е 4. Ъгълът между околния ръб и основата е:
Нека търсеният ъгъл е [tex]\varphi[/tex]
[tex]H=\frac{V}{B}=\frac{36}{3\cdot 4\cdot \sin{60 ^\circ}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3\cdot 2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}[/tex]

[tex]\sin{\varphi}=\frac{H}{l}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi=60 ^\circ[/tex]

$$ (\text{В}) $$

[ammornil]

6. Дадено е уравнението (k+1)[tex]lg^{2 }[/tex]x-3k[tex]lgx[/tex]+k=0 където k е параметър.
б) За кои стойности на k уравнението има реални корени [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex], за които [tex]10x_{1 } x_{2 }[/tex]=[tex]10^{4k }[/tex]?
[tex]\lg{x}=u \rightarrow x=10^{u} \Rightarrow 10x_{1}x_{2}=10^{4k} \Leftrightarrow 10^{u_{1}}10^{u_{2}}=10^{4k-1} \Leftrightarrow 10^{u_{1}+u_{2}}=10^{4k-1} \Leftrightarrow u_{1}+u_{2}=4k-1 \text{ :равенствo (1)}[/tex]

[tex]\lg{x}=u \Rightarrow (k+1)u^{2}-3ku+k=0 \rightarrow \text{Виет: } \begin{array}{|l} u_{1}+u_{2}=\frac{\normalsize{3k}}{\normalsize{k+1}} \text{ :трябва да е равно на равенство 1} \\ u_{1}u_{2}=\frac{\normalsize{k}}{\normalsize{k+1}} \end{array}[/tex]

[tex]\exists(x_{1};x_{2}) \Rightarrow (-3k)^{2}-4k(k+1) \ge 0 \Rightarrow 5k^{2}-4k \ge 0 \Rightarrow k(5k-4)\ge 0 \Rightarrow \text{Дk: } k \in (-\infty;0] \cup \left[\frac{4}{5};+\infty\right)[/tex]

[tex]4k-1=\frac{3k}{k+1} \Leftrightarrow 4k^{2}+4k-k-1=3k \Leftrightarrow 4k^{2}-1=0 \Leftrightarrow (2k-1)(2k+1)=0 \Rightarrow \begin{cases} k_{1}= \frac{\normalsize{1}}{\normalsize{2}} \notin \text{Дk }\\ k_{2}=-\frac{\normalsize{1}}{\normalsize{2}} \in \text{Дk } \end{cases}[/tex]

в) За кои стойности на k уравнението има точно едно решение, по-голямо от 1?
(1 случай) Ако уравнението има две различни по стойност решения [tex](x_{1}\ne x_{2})[/tex] но само едното е по-голямо от [tex]1[/tex], тогава:
[tex]\lg{x}=u \rightarrow x=10^{u} \begin{cases} x_{1}>1 \Rightarrow u_{1}>0 \\ x_{2}<1 \Rightarrow u_{2}<0 \end{cases} \Rightarrow u_{1}u_{2}<0[/tex]

[tex](k+1)u^{2}-3ku+k=0 \rightarrow u_{1}u_{2}=\frac{k}{k+1}<0 \Rightarrow \begin{array}{|l} k>0 \\ k+1<0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k<0 \\ k+1>0 \end{array} \Leftrightarrow \varnothing \cup k \in (-1;0) \Rightarrow[/tex] $$k \in (-1;0)$$

(2 случай)
[tex]x_{1}=x_{2} \rightarrow \lg{x}=u \rightarrow x=10^{u} \rightarrow x_{1}=x_{2}>1 \Rightarrow u_{1}=u_{2}>0 \Rightarrow u_{1}u_{2}>0[/tex]

[tex](k+1)u^{2}-3ku+k=0 , \hspace{2em} \because u_{1}=u_{2} \Rightarrow D=0 \Rightarrow (-3k)^{2}-4k(k+1)=0 \Leftrightarrow 5k^{2}-4k=0 \Rightarrow k_{1}=0, k_{2}=\frac{4}{5}[/tex]

[tex]u_{1}u_{2}=\frac{k}{k+1}>0 ? \rightarrow k_{1}=0 \rightarrow u_{1}u_{2}=0[/tex] -не е изпълнено.
[tex]u_{1}u_{2}=\frac{k}{k+1}>0 ? \rightarrow k_{2}=\frac{4}{5} \rightarrow u_{1}u_{2}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}+1}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{9}{5}}=\frac{4}{9}>0[/tex]- изпълнява условието.

Общият отговор е: $$ k \in (-1;0) \cup k=\frac{4}{5} $$