Пирамида

[Proto0o]

Основата на пирамида ABCDM е правоъгълника ABCD със страна AD = 3. Равнините (MAB) и (MAD) са перпендикулярни на равнината на основата, а равнината (MBD) сключва с равнината на основата ъгъл с големина 30[tex]^\circ[/tex]. Ако MA=[tex]\sqrt{2}[/tex], намерете обема на пирамидата.

Явно решението ми е грешно, защото не получих отговора 6.

В [tex]\triangle[/tex]AOM от [tex]\angle[/tex]AOM=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AM=MO/2 [tex]\Rightarrow[/tex] MO = 2[tex]\sqrt{2}[/tex]. След питагорова в [tex]\triangle[/tex]АОМ се получава, че AO=[tex]\sqrt{6}[/tex]=AC/2. Питагорова в [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AB^{2 }[/tex] = [tex]AC^{2 }[/tex] - [tex]BC^{2 }[/tex] = 24 - 9 = 15 [tex]\Rightarrow[/tex] AB = [tex]\sqrt{15}[/tex]. От там намирам че лицето на основата е 3[tex]\sqrt{15}[/tex] и следователно обема V=Bh/3=(3[tex]\sqrt{15}[/tex]*[tex]\sqrt{2}[/tex])/3 = [tex]\sqrt{30}[/tex]

[ammornil]

Screenshot 2023-03-22 222414.png (20.6 KiB) Прегледано 430 пъти

Screenshot 2023-03-22 223436.png (9.77 KiB) Прегледано 430 пъти

Забележете, че височината на пирамидата е [tex]МА[/tex], а петата на височината от върха [tex]M[/tex] на сечението [tex]MBD[/tex] не съвпада с пресечната точка на диагоналите на основата!

[tex]AD=3, AM=\sqrt{2}[/tex]
[tex]MP \bot DB, MA \bot BD \Rightarrow AP \bot BD \Rightarrow \angle{MPA}=\angle{[p(MBD),p(ABCD)]}=30^{\circ}[/tex]
[tex]\triangle{MAP}, \angle{MAP}=90^{\circ}, \angle{MPA}=30^{\circ} \Rightarrow MP=2\cdot MA=2\sqrt{2} \Rightarrow AP^{2}=MP^{2}-MA^{2}=6 \Rightarrow AP=\sqrt{6}[/tex]
[tex]\triangle{MAD}, \angle{MAD}=90^{\circ}, MD^{2}=AD^{2}+AM^{2}=11 \Rightarrow MD=\sqrt{11}[/tex]
[tex]\triangle{MPD}, \angle{MPD}=90^{\circ}, DP^{2}=MD^{2}-MP^{2}=3 \Rightarrow DP=\sqrt{3}[/tex]
[tex]\triangle{DAB}, \angle{DAB}=90^{\circ}, AP \bot DB \Rightarrow AP^{2}=DP\cdot BP \Rightarrow BP=\frac{AP^{2}}{DP}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}[/tex]
[tex]DB=DP+BP=3\sqrt{3}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=2\cdot S_{ABD}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot DB\cdot AP=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=9\sqrt{2}[/tex]

$$ V_{ABCDM}=\frac{1}{3}\cdot AM\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{2}\cdot 9\sqrt{2}=6 $$

[Proto0o]

Screenshot 2023-03-22 222414.png

Screenshot 2023-03-22 223436.png

Забележете, че височината на пирамидата е [tex]МА[/tex], а петата на височината от върха [tex]M[/tex] на сечението [tex]MBD[/tex] не съвпада с пресечната точка на диагоналите на основата!

[tex]AD=3, AM=\sqrt{2}[/tex]
[tex]MP \bot DB, MA \bot BD \Rightarrow AP \bot BD \Rightarrow \angle{MPA}=\angle{[p(MBD),p(ABCD)]}=30^{\circ}[/tex]
[tex]\triangle{MAP}, \angle{MAP}=90^{\circ}, \angle{MPA}=30^{\circ} \Rightarrow MP=2\cdot MA=2\sqrt{2} \Rightarrow AP^{2}=MP^{2}-MA^{2}=6 \Rightarrow AP=\sqrt{6}[/tex]
[tex]\triangle{MAD}, \angle{MAD}=90^{\circ}, MD^{2}=AD^{2}+AM^{2}=11 \Rightarrow MD=\sqrt{11}[/tex]
[tex]\triangle{MPD}, \angle{MPD}=90^{\circ}, DP^{2}=MD^{2}-MP^{2}=3 \Rightarrow DP=\sqrt{3}[/tex]
[tex]\triangle{DAB}, \angle{DAB}=90^{\circ}, AP \bot DB \Rightarrow AP^{2}=DP\cdot BP \Rightarrow BP=\frac{AP^{2}}{DP}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}[/tex]
[tex]DB=DP+BP=3\sqrt{3}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=2\cdot S_{ABD}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot DB\cdot AP=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=9\sqrt{2}[/tex]

$$ V_{ABCDM}=\frac{1}{3}\cdot AM\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{2}\cdot 9\sqrt{2}=6 $$

Много благодаря! Объркал съм, че трябва да е височина (най-късото разстояние), а не медиана.