Задача с пирамида от ТУ предварителен приемен изпит 2023

[Proto0o]

28. Пирамида има за основа равностранен триъгълник със страна [tex]\alpha[/tex]. Два
от околните ръбове сключват с равнината на основата ъгли с големина [tex]\varphi[/tex], а
равнината, в която те лежат, сключва с основата ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex]. Да се
намери височината на пирамидата.

[S.B.]

28. Пирамида има за основа равностранен триъгълник със страна [tex]\alpha[/tex]. Два
от околните ръбове сключват с равнината на основата ъгли с големина [tex]\varphi[/tex], а
равнината, в която те лежат, сключва с основата ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex]. Да се
намери височината на пирамидата.

Без заглавие - 2023-03-28T213754.109.png (347.01 KiB) Прегледано 512 пъти

Върхът $M$ се проектира в т.$H$ ,която принадлежи на височината $CK$ на [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]MH = h, KH = y[/tex]
[tex]\triangle AHM \cong \triangle BHM[/tex] (по втори признак)[tex]\Rightarrow AH = BH = x[/tex]

За [tex]\triangle AHM \rightarrow \frac{AH}{MH} = \cotg \varphi \Leftrightarrow x = h\cotg \varphi[/tex](*)

За [tex]\triangle KHM \rightarrow \frac{KH}{HM} = \cotg \alpha \Leftrightarrow y = h\cotg \alpha[/tex](**)

[tex]\varphi = \alpha[/tex] ( в противен случай $AH = KH$ , което не е възможно)

За [tex]\triangle AHK[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AH^{2 } - KH^{2 } = AK^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } - y^{2 } = ( \frac{a}{2}) ^{2 } \Leftrightarrow x^{2 }- y^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4}[/tex]
Замествам с (*) и (**) и получавам:

[tex]x^{2 } - y^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4} \Leftrightarrow h^{2 } \cotg^{2 } \varphi - h^{2 } \cotg^{2 } \alpha = \frac{ a^{2 } }{4} \Leftrightarrow h^{2 }( \cotg^{2 } \alpha - \cotg^{2 } \varphi) = \frac{ a^{2 } }{4 } \Leftrightarrow h^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4( \cotg^{2 } \varphi - \cotg^{2 } \alpha )}[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{a \sqrt{ \cotg^{2 } \varphi - \cotg^{2 } \alpha } }{2( \cotg^{2 } \varphi - \cotg^{2 } \alpha )} $$

[Proto0o]

28. Пирамида има за основа равностранен триъгълник със страна [tex]\alpha[/tex]. Два
от околните ръбове сключват с равнината на основата ъгли с големина [tex]\varphi[/tex], а
равнината, в която те лежат, сключва с основата ъгъл с големина [tex]\alpha[/tex]. Да се
намери височината на пирамидата.

Без заглавие - 2023-03-28T213754.109.png

Върхът $M$ се проектира в т.$H$ ,която принадлежи на височината $CK$ на [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]MH = h, KH = y[/tex]
[tex]\triangle AHM \cong \triangle BHM[/tex] (по втори признак)[tex]\Rightarrow AH = BH = x[/tex]

За [tex]\triangle AHM \rightarrow \frac{AH}{MH} = \cotg \varphi \Leftrightarrow x = h\cotg \varphi[/tex](*)

За [tex]\triangle KHM \rightarrow \frac{KH}{HM} = \cotg \alpha \Leftrightarrow y = h\cotg \alpha[/tex](**)

[tex]\varphi = \alpha[/tex] ( в противен случай $AH = KH$ , което не е възможно)

За [tex]\triangle AHK[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AH^{2 } - KH^{2 } = AK^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } - y^{2 } = ( \frac{a}{2}) ^{2 } \Leftrightarrow x^{2 }- y^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4}[/tex]
Замествам с (*) и (**) и получавам:

[tex]x^{2 } - y^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4} \Leftrightarrow h^{2 } \cotg^{2 } \varphi - h^{2 } \cotg^{2 } \alpha = \frac{ a^{2 } }{4} \Leftrightarrow h^{2 }( \cotg^{2 } \alpha - \cotg^{2 } \varphi) = \frac{ a^{2 } }{4 } \Leftrightarrow h^{2 } = \frac{ a^{2 } }{4( \cotg^{2 } \varphi - \cotg^{2 } \alpha )}[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{a \sqrt{ \cotg^{2 } \varphi - \cotg^{2 } \alpha } }{2( \cotg^{2 } \varphi - \cotg^{2 } \alpha )} $$

Много благодаря! Само да попитам защо "Върхът $M$ се проектира в т.$H$ ,която принадлежи на височината $CK$ на [tex]\triangle ABC[/tex]"?

[S.B.]

Много благодаря! Само да попитам защо "Върхът $M$ се проектира в т.$H$ ,която принадлежи на височината $CK$ на [tex]\triangle ABC[/tex]"?

$AH$ и $BH$ са проекции на $AM$ и $BM$ в равнината на [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]\triangle AHM \cong \triangle BHM[/tex] (по втори признак)
$MH$ - обща страна , [tex]\angle MHA = \angle MHB = 90 ^\circ , \angle MAH = \angle MBH = \varphi[/tex] по условие
[tex]\Rightarrow AH = BH \Rightarrow H \in S_{AB }[/tex]
[tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен по условие
$CK$ e височината на [tex]\triangle ABC , CK\bot AB ,AK = BK \Leftrightarrow CK \equiv S_{AB }[/tex]
[tex]H\in S_{AB } \Rightarrow H \in CK[/tex]