Числото 10 представете като сума на две положителни събираеми така, че сборът от квадрата на едното и учетвореното друго да е възможно най-малък Намерете този сбор.
[tex]\begin{array}{|l} x_{1}>0 \\ x_{2}>0 \\ x_{1}+x_{2}=10 \\ f(x_{i})=x_{1}^{2}+4\cdot x_{2} \end{array}, \hspace{3em} f(x_{i})_{min}=?[/tex]
Можем да представим като функция на една променлива, като [tex]x_{1}=x, x_{2}=10-x_{1}=10-x[/tex]
[tex]f(x)=x^{2}+4\cdot (10-x)=x^{2}-4x+40[/tex]
Екстремумите на функцията са там, където първата ѝ производна е нула: [tex]f'(x)=2x-4=0 \rightarrow x=2[/tex]
[tex]\begin{cases} x_{1}=2 \hspace{1em} >0 \\ x_{2}=8 \hspace{1em} >0 \end{cases} \Rightarrow x \in \text{ Дx}[/tex]
Характерът на екстремума се определя от стойността на втората производна в точките, където първата производна е нула: [tex]f''(x)=2 > 0 \Rightarrow f(2) = f_{min}[/tex]
$$ f(2) = 2^{2}-4.2+40=4-8+40=36$$
***
Представете числото 50 като сума на три положителни събираеми със следните свойства отношението на първите две събираеми на 1 4, а сборът от произведението на първите две числа и умноженото с 8 трето число да биде воз- можно най-мальк. Намерете този сбор.
Допускам, че отношението на първите две числа е [tex]1:4[/tex].[tex]\begin{array}{|l} x_{1}>0 \\ x_{2}>0 \\ x_{3}>0 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=50 \\ \frac{\normalsize{x_{1}}}{ \normalsize{x_{2}}}=\frac{\normalsize{1}}{\normalsize{4}} \\ f(x_{i})=x_{1}\cdot x_{2} +8\cdot x_{3} \end{array}, \hspace{3em} f(x_{i})_{min}=?[/tex]
Можем да представим като функция на една променлива, като [tex]x_{1}=x > 0, x_{2}=4\cdot x_{1}=4x > 0, x_{3}=50-x_{1}-x_{2}=50-5x >0[/tex]
[tex]f(x)=x\cdot 4x +8\cdot (50-5x)=4x^{2}-40x+400[/tex]
Екстремумите на функцията са там, където първата ѝ производна е нула: [tex]f'(x)=8x-40=0 \rightarrow x=5[/tex]
[tex]\begin{cases} x_{1}=5 >0 \\ x_{2}=20 >0 \\ x_{3}=25 >0 \end{cases} \Rightarrow x \in \text{ Дx}[/tex]
Характерът на екстремума се определя от стойността на втората производна в точките, където първата производна е нула: [tex]f''(x)=8 > 0 \Rightarrow f(5) = f_{min}[/tex]
$$ f(5)=f_{min}=4\cdot 5^{2}-40\cdot 5 +400= 300 $$
***
Намерете НГС fx) = (2- log,x)log,x при х Е (1, 9) и стойността на х. при която тя се получава.
Допускам, че става въпрос за естествен логаритъм.[tex]f(x)=(2-\ln(x))\cdot \ln(x), \hspace{2em} x \in (1,9), \hspace{2em} f(x)_{max}=?[/tex]
Когато търсим екстремуми в определен интервал, проверяваме дали фунцкията има екстремуми, дали те са в интервала от заданието и дали отговарят на желания тип екстремум. Ако не отговарят или не съществуват в дадения интервал, намираме интервали на растене и намаляване, и стойностите на функцията в краищата на интервала, като така определяме търсения екстремум.
[tex]f'(x)=[(2-ln(x))]'\cdot ln(x)+(2-ln(x))\cdot [ln(x)]'=-\frac{1}{x}+(2-ln(x))\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x}\cdot( -1+2-ln(x) )=\frac{1}{x}(1-ln(x))[/tex]
За да бъде първата производна нула, изразът в скобите трябва да бъде равен на нула [tex]f'(x)=0 \Rightarrow 1-ln(x)=0 \Rightarrow ln(x)=1 \Rightarrow x=e \in (1;9)[/tex]
Функцията има локален екстремум в дадения интервал там където променливата приема стойност равна на основата на естествения логаритъм.
[tex]f''(x)=\left[ \frac{1}{x} \right]'\cdot (1-ln(x))+\frac{1}{x}\cdot [(1-ln(x))]'=-\frac{1}{x^{2}}\cdot (1-ln(x))+\frac{1}{x}\cdot \left(-\frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{x^{2}}(1-ln(x)+1)=-\frac{1}{x^{2}}(2-ln(x))[/tex]
[tex]f''(e)=-\frac{1}{e^{2}}(2-ln(e))=-\frac{1}{e^{2}}(2-1)=-\frac{1}{e^{2}}<0 \Rightarrow f(e)=f_{max}[/tex] $$ f(e)=f_{max}=(2-ln(e))\cdot ln(e)=(2-1)\cdot 1=1\cdot 1=1 $$
- Screenshot 2023-04-03 120959.png (15.38 KiB) Прегледано 903 пъти
***
Намерете аритметичната прогресия а, а, а, 11, а., за която сумата а а а а а а, да бъде възможно най-малка. Намерете тази сума.
тук вече нищо не мога да допусна... 
[tex]\color{lightseagreen}\text{''Който никога не е правил грешка, никога не е опитвал нещо ново.''} \\
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
Меню
