В окръжност с радиус (R=1) е вписан трапец с периметър Р=4.

[Гост]

А) Да се докаже, че:
[tex]S_{трапец }[/tex]=[tex]x(2-x)^{2 }[/tex]/[tex]\sqrt{4- x^{2 } }[/tex], където х е дължината на бедрото на трапеца.
Б) При коя стойност на х лицето на трапеца ще е най голямо?

[mail_dinko]

Много ми е тромаво решението, но го докарах до някъде
Вписаният трапец е винаги равнобедрен. Обиколката е [tex]P=2x+a +b =4 \Rightarrow \frac {a+b}{2}=2-x[/tex]
Формулата за лицето [tex]S_{ABCD} = \frac 12 (a+b).h[/tex] се свежда до [tex]S_{ABCD} = (2-x).h[/tex] (1)
В равнобедрения трапец след построяване на вис. от върха D, петата на перпендикуляра разделя голямата основа на
[tex]AH = \frac {a-b}{2}[/tex] и [tex]BH = \frac {a+b}{2} = 2-x[/tex] (2)

Построяваме [tex]DB=d=AC[/tex] - диагонал
[tex]\angle ADC=\angle BCD =\alpha\Rightarrow \angle BAD = 180^\circ - \alpha=\angle ABC[/tex]
За триъгълник DBC, d=BD
Радиус на описана окр. около BCD - по усл:
[tex]R=1[/tex]
[tex]\frac {d}{sin \alpha} =2R=2 \Rightarrow d=2 sin \alpha[/tex]
[tex]Постр. DH=h \bot AB : H \in AB[/tex]
В правоъгълния триъгълник AHD: h=DH, AD=x - по условие
[tex]sin \angle BAD = sin (180^\circ - \alpha)= sin \alpha = \frac {h}{x}[/tex]
[tex]d = 2. \frac {h}{x}[/tex]
Разгл. правоъгълния триъгълник DHB: [tex]\angle H =90^\circ[/tex]
Използваме (2)
[tex]DB^2 = DH^2+HB^2 \Leftrightarrow \frac {4h^2}{x^2}= h^2 + (2-x)^2[/tex]
[tex]4h^2 = h^2. x^2 + x^2. (2-x)^2 \rightarrow h^2(4-x^2)=x^2. (2-x)^2[/tex]
[tex]h^2 = \frac {x^2. (2-x)^2}{4-x^2}[/tex]
[tex]DM:h>0;x>0;h= \frac {x(2-x)}{\sqrt {4-x^2}}[/tex]
Използваме (1)
[tex]S_{ABCD} = (2-x). \frac {x(2-x)}{\sqrt {4-x^2}}= \frac {x(2-x)^2}{\sqrt {4-x^2}}[/tex]
За да намерим максимума на функцията, трябва да намерим първата производна на функцията, нещо което на мен не ми се отдава за сложни функции.
От ДМ на знаменателя и това, че x>0 следва, че 0<x<2
Wolframalpha ми дава, че максимумът на функцията се достига при [tex]x= \sqrt{3}-1[/tex], но не мога да достигна до това

[ammornil]

Б) При коя стойност на х лицето на трапеца ще е най голямо?

[tex]S = \frac {x(2-x)^2}{\sqrt {4-x^2}}, \hspace{2em} \text{Д}x: \hspace{0.5em} \begin{array}{|l} 4-x^{2}>0 \\ x>0 \\ 2-x \ne 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (x-2)(x+2)<0 \\ x>0 \\ x \ne 2 \end{array} \Rightarrow x \in (0;2)[/tex]

[tex]u=x(2-x)^{2} \Rightarrow u'=(2-x)^{2}+x\cdot 2(2-x)\cdot (-1)=(2-x)^{2}-2x(2-x)=(2-x)(2-x-2x)=(2-x)(2-3x)[/tex]

[tex]v=\sqrt{4-x^{2}} \Rightarrow v'=\frac{1}{2\sqrt{4-x^{2}}}\cdot (-2x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}[/tex]

[tex]S=\frac{u}{v} \Rightarrow S'=\frac{u'\cdot{v}-v'\cdot{u}}{v^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\cdot{(u'\cdot{v}-v'\cdot{u})} \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow S'=\frac{1}{(\sqrt{4-x^{2}})^{2}}\cdot{\left[(2-x)(2-3x)\cdot{\sqrt{4-x^{2}}}-\left(-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\cdot{x(2-x)^{2}} \right)\right]} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S'=\frac{2-x}{(2-x)(2+x)}\cdot{\left[(2-3x)\cdot{\sqrt{4-x^{2}}}+\frac{x^{2}(2-x)}{\sqrt{4-x^{2}}}\right]}=\frac{1}{2+x}\cdot\frac{(2-3x)(2-x)(2+x)+x^{2}(2-x)}{\sqrt{4-x^{2}}} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S'=\frac{2-x}{2+x}\cdot \frac{(2-3x)(2+x)+x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{2-x}{2+x}\cdot \frac{4+2x-6x-3x^{2}+x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{x-2}{x+2}\cdot \frac{2x^{2}+4x-4}{\sqrt{4-x^{2}}} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow S'=\frac{2(x-2)(x^{2}+2x-2)}{(x+2)\sqrt{4-x^{2}}}[/tex]

[tex]\because S'=0 \Rightarrow (x-2)(x^{2}+2x-2)=0 \Rightarrow x=2 \notin \text{Д}x \cup x^{2}+2x-2=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{(-1)^{2}+2}}{1}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{cases} x_{1}=-1+\sqrt{3} \in \text{Д}x \\ x_{2}=-1-\sqrt{3} \notin \text{Д}x \end{cases} \Rightarrow x=\sqrt{3}-1[/tex]

Интервали на растене и намаляване чрез първата производна дават
[tex]\begin{cases} 0 < x < \sqrt{3}-1 \rightarrow S'(x) > 0 \rightarrow S(x) \text{ -растяща } \\ \sqrt{3}-1 < x < 2 \rightarrow S'(x) < 0 \rightarrow S(x) \text{ -намаляваща } \end{cases} \Rightarrow
S(\sqrt{3}-1)=S_{max}[/tex]