Задача 10 от ФМИ 2023 г.

[Proto0o]

Моля за помощ с тази задача. Мисля, че може да се реши с теоремата на Менелай, но не мисля че сме я учили и малко ми е трудно да я схвана. Ако може и по някакъв друг начин?

[grav]

Малките триъгълници имат еднакви лица. Значи 120, отговор Д).

[Евва]

Зад. може да се реши със знания от 7 клас .
Направих допълнителни построения .
Получих отг. А)

[Proto0o]

Зад. може да се реши със знания от 7 клас .
Направих допълнителни построения .
Получих отг. А)

Е знам, че е със подобни триъгълници най-вероятно, но не се сещам как. Кои са допълнителните построения?

[Гост]

da, 162 e...

[Гост]

po Menelaj namirash BG/GD=2/3 i ottam kakva chast e liceto na GFB ot liceto na DFB...

[Евва]

Ще решим зад. без подобни тр-ци .
Нека т.Р е среда на отс. СЕ .
Не е нужно да построяваме ,а само да отбележим петите на височините А[tex]А_{1 }[/tex] в [tex]\triangle[/tex]АВС и G[tex]G_{1 }[/tex] в [tex]\triangle[/tex]GBC .
[tex]S_{GBF }[/tex] =S=?

Да построим отсечките GC ,GP и GE .
[tex]S_{GBF } =S_{GFE}=S_{GEP}=S_{GPC}[/tex] =S ,защото имат равна страна (която е [tex]\frac{ВС}{4}[/tex]) и
една и съща височ. G[tex]G_{1 }[/tex] , намираме [tex]S_{GBC }[/tex] =4S (1)

BD - медиана в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABD }= S_{DBC }[/tex] (2)
GD -медиана в [tex]\triangle[/tex]AGC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AGD }[/tex]=[tex]S_{DGC }[/tex] (3)

От (2) вадим (3) и получаваме [tex]S_{ABG} =S_{GBC}[/tex] ,от (1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABG }[/tex] =4S (4)

[tex]S_{ABF }[/tex]= [tex]\frac{ S_{ABC } }{4}[/tex] , защото [tex]S_{ABF }[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]BF.A[tex]A_{1 }[/tex] =[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{BC}{4}[/tex].A[tex]A_{1 }[/tex] =[tex]\frac{1}{4}[/tex]( [tex]\frac{1}{2}[/tex].BC.A[tex]A_{1 }[/tex] ) =[tex]\frac{ S_{ABC } }{4}[/tex]
[tex]S_{ABF }[/tex]=[tex]\frac{360}{4}[/tex]= 90
[tex]S_{ABG } +S_{GBF}[/tex]=90 [ виж (4) ]
4S+ S=90 [tex]\Rightarrow[/tex] S=18

[tex]S_{CDGF }[/tex] =[tex]S_{DBC }[/tex] - [tex]S_{GBF }[/tex] =[tex]\frac{360}{2}[/tex] - S= 180 - 18= 162

[S.B.]

Моля за помощ с тази задача. Мисля, че може да се реши с теоремата на Менелай, но не мисля че сме я учили и малко ми е трудно да я схвана. Ако може и по някакъв друг начин?

Без заглавие - 2023-04-23T204648.988.png (245.99 KiB) Прегледано 512 пъти

След като колежката Евва представи своето прекрасно решение,мисля,че е редно да бъде представено и решение с теоремата на МЕНЕЛАЙ.Независимо дали сте я учили или не,тя съществува, а Вие ще се явявате на конкурс, на който никой не се интересува от това дали сте я учили или не!По-знаещият ще спечели!

$BD$ е медиана в [tex]\triangle ABC \Rightarrow S_{ \triangle ABD} = S_{ \triangle CBD} = 180[/tex]

[tex]S_{DGFC } + S_{ \triangle GFB} = S_{ \triangle BCD } \Leftrightarrow S_{DGFC } = 180 - S_{ \triangle GFB}[/tex]

[tex]\frac{CB}{FB} = \frac{ S_{ \triangle ABC} }{ S_{ \triangle ABF} } \Leftrightarrow \frac{4}{1} = \frac{360}{ S_{ \triangle ABF} } \Rightarrow S_{ \triangle ABF} = 90[/tex] ( триъгълници с еднакви височини и различни основи)

[tex]S_{ \triangle ABG} + S_{ \triangle GFB } = S_{ \triangle ABF} \Leftrightarrow S_{ \triangle ABG} + S_{ \triangle GBF} = 90[/tex]

Но [tex]\triangle ABG[/tex] и [tex]\triangle GBF[/tex] са триъгълници с еднакви височини и различни основи

[tex]\Rightarrow \frac{ S_{ \triangle GFB} }{ S_{ \triangle AGB} } = \frac{GF}{AG}[/tex]

Именно това отношение ще установим чрез теоремата на Менелай,която прилагам за [tex]\triangle AFC[/tex] и правата $BD$:
$$ \frac{CB}{BF} . \frac{FG}{GA}. \frac{AD}{DC} = 1$$
[tex]\Leftrightarrow \frac{4}{1} . \frac{FG}{GA}. 1 = 1 \Leftrightarrow \frac{FG}{GA} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{ S_{ \triangle GFB} }{ S_{ \triangle AGB } } = \frac{1}{4} \Rightarrow S_{ \triangle AGB} = 4 S_{ \triangle GFB}[/tex]

[tex]S_{ \triangle AGB} + S_{ \triangle FGB} = 90 \Leftrightarrow 4 S_{ \triangle FGB} + S_{ \triangle FGB} = 90 \Leftrightarrow 5 S_{ \triangle FGB} = 90 \Rightarrow S_{ \triangle FGB} = 18[/tex]

[tex]S_{DGFC } = S_{ \triangle DBC } - S_{ \triangle GFB} = 180 - 18[/tex]
$$\Rightarrow S_{DGFC } = 162$$

[Гост]

Малките триъгълници имат еднакви лица. Значи 120, отговор Д).

Ами то няма такъв отговор!?

[grav]

Малките триъгълници имат еднакви лица. Значи 120, отговор Д).

Ами то няма такъв отговор!?

Да, прочел съм условието погрешно, че точките D, E, F са средите на страните на триъгълника.