Намерете радиуса R на окръжността

[Гост]

IMG_7482.jpeg (395.63 KiB) Прегледано 420 пъти

[S.B.]

Прикачения файл IMG_7482.jpeg вече е недостъпен

Без заглавие - 2023-04-26T145637.540.png (261.74 KiB) Прегледано 412 пъти

Дадено: $ABCD$ вписан в окръжност, [tex]AC = \frac{24 \sqrt{2} }{5} , \angle ACD = \alpha , \angle CBD = \beta[/tex]
[tex]\cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{10} , \cos \beta = \frac{7 \sqrt{2} }{10}[/tex]
Да се определи $R$ - радиуса на описаната окръжност

Решение:
Едно от необходимите и достатъчни условия четириъгълникът $ABCD$ да бъде вписан в окръжност е
[tex]\angle ACD = \angle ABD[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle ACD = \alpha \\ \angle ACD = \angle ABD\end{cases} \Rightarrow \angle ABD = \alpha[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R[/tex]
[tex]\cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{10} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{7 \sqrt{2} }{10}[/tex]
[tex]\cos \beta = \frac{7 \sqrt{2} }{10} \Rightarrow \sin \beta = \frac{ \sqrt{2} }{10}[/tex]

[tex]\angle ABC = \alpha + \beta[/tex]
[tex]\sin \angle ABC = \sin (\alpha+ \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha = \frac{7 \sqrt{2} }{10} . \frac{7 \sqrt{2} }{10 } + \frac{ \sqrt{2} }{10} \frac{ \sqrt{2} }{10} = \frac{98}{100} + \frac{2}{100} = \frac{100}{100} = 1[/tex]
[tex]\sin \angle ABC = 1 \Rightarrow \frac{24 \sqrt{2} }{5} = 2R \Rightarrow R = \frac{12 \sqrt{2} }{5}[/tex]

Простичко казано [tex]\angle ABC = 90 ^\circ[/tex] , AC се явява хипотенуза в [tex]\triangle ABC \Rightarrow R = \frac{AC}{2}[/tex]