4 задачи

[Гост]

Зад 1:
Да се намерят реалните стойности на параметъра А така че корените на уравнението [tex]x^{2 }[/tex] - ax + 2 = 0 са различни и се намират в затворения инт [0;3]
Зад 2:
f(x) = [tex]\alpha x^{2 }[/tex] - 2kx + k+ 6
k [tex]\rightarrow[/tex] реален параметър
ако [tex]\alpha[/tex]=1 Да се намерят всички стойности на k при които корените на уравнението f(x) = 0 са < 1
Зад 3:
При какви стойности на параметъра m, f(x) = 2[tex]x^{2 }[/tex] - (2m - 5)x + m - 3 = 0
[tex]x_{1,2 }[/tex] [tex]\in[/tex] (0,1)
Зад 4:
Нека f(x) = [tex]x^{2 }[/tex] - 2mx + 2[tex]m^{2 }[/tex] - 2m - 3 = 0
m - реален параметър
Ако корените на f(x) = 0 са реални числа [tex]\rightarrow[/tex] Да се докаже че [tex]\in[/tex] [1 - 2[tex]\sqrt{2}[/tex];1 + 2[tex]\sqrt{2}[/tex]]

[ammornil]

Може би нещо такова:
Зад 1:Да се намерят реалните стойности на параметъра А така че корените на уравнението [tex]x^{2 }[/tex] - ax + 2 = 0 са различни и се намират в затворения инт [0;3]
[tex]\exists x_{1}\ne x_{2} \Rightarrow D>0 \Rightarrow (-a)^{2}-4\cdot{1}\cdot{2}>0 \Rightarrow a^{2} - 8 >0 \Rightarrow (a-2\sqrt{2})(a+2\sqrt{2})>0 \Rightarrow a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)[/tex]
[tex]0\le x_{1}<x_{2}\le 3 \Rightarrow \begin{array}{|l} a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\\ 1\cdot{f(0)} > 0 \\ 1\cdot{f(3)} > 0 \\ -\frac{\normalsize{-a}}{\normalsize{2\cdot{1}}} \ge 0 \\ -\frac{\normalsize{-a}}{\normalsize{2\cdot{1}}} \le 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty) \\ 0^{2}-a\cdot{0}+2 > 0 \\ 3^{2}-a\cdot{3}+2 > 0 \\ \frac{a}{2} \ge 0 \\ \frac{a}{2} \le 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty) \\ \forall a \in \text{Д}a \\ 3a < 11 \\ a \ge 0 \\ a \le 6 \end{array} \Rightarrow a \in \left(2\sqrt{2}; 3\frac{2}{3}\right)[/tex]

Screenshot 2023-05-02 114347.png (53.61 KiB) Прегледано 450 пъти

[ammornil]

Зад 2: f(x) = [tex]\alpha x^{2 }[/tex] - 2kx + k+ 6 [tex]\hspace{2em} k \rightarrow[/tex] реален параметър, ако [tex]\alpha[/tex]=1 Да се намерят всички стойности на k при които корените на уравнението f(x) = 0 са < 1.

[tex]\alpha = 1 \Rightarrow f(x)=x^{2}-2kx+k+6[/tex]
[tex]\exists(x_{1}, x_{2}) \Rightarrow D \ge 0 \Rightarrow k^{2}-1\cdot(k+6) \ge 0 \Leftrightarrow k^{2}-k-6 \ge 0 \Leftrightarrow (k+2)(k-3) \ge 0 \Rightarrow k \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)[/tex]
[tex]x_{1}\le x_{2} < 1 \Rightarrow \begin{array}{|l} k \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) \\ a\cdot{f(1)} > 0 \\ -\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} < 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) \\ 1^{2}-2k\cdot{1}+k+6 > 0 \\ -\frac{\normalsize{-2k}}{\normalsize{2\cdot{1}}} < 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) \\ k < 7 \\ k < 1 \end{array} \Rightarrow k \in (-\infty; -2][/tex]

[ammornil]

изтрито от автора - фактическа грешка

[ammornil]

Зад 4:
Нека [tex]f(x) = x^{2 } - 2mx + 2m^{2 } - 2m - 3 = 0, \hspace{0.5em} m[/tex]- реален параметър.
Ако корените на [tex]f(x) = 0[/tex] са реални числа [tex]\rightarrow[/tex] да се докаже че [tex]x_{1,2} \in [1 - 2\sqrt{2};1 + 2\sqrt{2}][/tex]

[tex]\exists (x_{1}, x_{2}) \Rightarrow D \ge 0 \Rightarrow m^{2} -1\cdot(2m^{2 } - 2m - 3) \ge 0 \Leftrightarrow m^{2}-2m-3 \le 0 \Rightarrow m \in [-1; 3][/tex]

Трябва да се докаже, че

[tex]\begin{array}{|l} m \in [-1; 3] \\ 2\cdot{f(1 - 2\sqrt{2})} > 0 \\ 2\cdot{f(1 + 2\sqrt{2})} > 0 \\ m >1 - 2\sqrt{2} \\ m < 1 + 2\sqrt{2} \end{array}[/tex]
Последните две неравенства са изпълнение за [tex]m \in [-1; 3][/tex], остава да заместите с [tex]1 - 2\sqrt{2}[/tex] и [tex]1 + 2\sqrt{2}[/tex] в израза за [tex]f(x)[/tex] и да докажете, че получените изрази са положителни.

[ammornil]

Зад 3: При какви стойности на параметъра [tex]m, \hspace{0.5em} f(x) = 2x^{2 }- (2m - 5)x + m - 3 = 0, \hspace{0.5em} x_{1,2 } \in (0,1)[/tex]?

[tex]\exists(x_{1},x_{2}) \Rightarrow D \ge 0 \Rightarrow (2m-5)^{2}-4\cdot{2}\cdot{(m-3)} \ge 0 \Leftrightarrow 4m^{2}-20m+25-8m+24 \ge 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\hspace{8em} \Leftrightarrow (2m)^{2}-2\cdot(2m)\cdot(7) +7^{2} \ge 0 \Leftrightarrow (2m-7)^{2} \ge 0 \Rightarrow \forall m \in R[/tex]

[tex]0 < x_{1}\le x_{2} < 1 \Rightarrow \begin{array}{|l} \forall m \in R \\ a\cdot{f(0)} > 0 \\ a\cdot{f(1)} > 0 \\ -\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} > 0 \\ -\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} < 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2\cdot{(m-3)} > 0 \hspace{0.5em}|\div 2 \\2\cdot{(2\cdot{1^{2}}-(2m-5)\cdot{1}+m-3)} > 0 \hspace{0.5em}|\div 2 \\ -\frac{\normalsize{-(2m-5)}}{\normalsize{2\cdot{2}}} > 0 \hspace{0.5em}|\cdot 4 \\ -\frac{\normalsize{-(2m-5)}}{\normalsize{2\cdot{2}}} < 1 \hspace{0.5em}|\cdot 4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2m > 3 \\ 2-2m+5+m-3 > 0 \\ 2m-5 > 0 \\ 2m-5 < 4 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\hspace{7.3em} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m>\frac{\normalsize{3}}{\normalsize{2}} \\ m<4 \\ m>\frac{\normalsize{5}}{\normalsize{2}} \\ m < \frac{\normalsize{9}}{\normalsize{2}} \end{array} \Rightarrow m \in \left(2\frac{1}{2};4\right)[/tex]

[Гост]

Зад 2:

От формулата на Виет [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex] + [tex]x_{2 }[/tex] = 2k и [tex]x_{1 }[/tex][tex]x_{2 }[/tex] = k + 6

корените трябва да са < 1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex] < 1 И [tex]x_{2 }[/tex] < 1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x_{1 } + x_{2 } < 2 \\ x_{1 } x_{2 } < 1 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l}2k < 2 \\ k + 6 < 1 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} k < 1 \\ k < -5 \end{array}[/tex]

Този начин не е ли по-правилен?

[ammornil]

Зад 2:

От формулата на Виет [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex] + [tex]x_{2 }[/tex] = 2k и [tex]x_{1 }[/tex][tex]x_{2 }[/tex] = k + 6

корените трябва да са < 1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex] < 1 И [tex]x_{2 }[/tex] < 1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x_{1 } + x_{2 } < 2 \\ x_{1 } x_{2 } < 1 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l}2k < 2 \\ k + 6 < 1 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} k < 1 \\ k < -5 \end{array}[/tex]

Този начин не е ли по-правилен?

Твърдението Ви има логика, но не мога да кажа дали няма изключения в някои случаи. Според Вашето решение [tex]k=-3[/tex] не е решение на условието [tex](-3 > -5)[/tex], но ако заместите лесно се вижда че в същност е. [tex]x^{2}+6x+3 \rightarrow x_{1,2}=-3\pm \sqrt{6} < 1[/tex]
Както казах, не съм сигурен къде точно Вашето решение "изпуска решения".

Аз се придържам към системите за разположението на корените на квадратен тричлен: (ако построим графиките за [tex]a<0[/tex] и [tex]a>0[/tex] (праболите с върха надолу и върха нагоре) и разгледаме къде лежат корените и върха на праболата спрямо поставените изисквания)
$$ ax^{2}+bx+c \rightarrow $$
[tex]x_{1,2} \in (p,q) \Rightarrow \begin{array}{|l} b^{2}-4ac \ge 0 \\ a\cdot(ap^{2}+bp+c) > 0 \\ a\cdot(aq^{2}+bq+c) > 0 \\ -\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} >p \\ -\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} < q \end{array}[/tex]
ако някой от интервалите е затворен, то в неравенството за върха при този край на интервала ще има и знак равно (нестрого неравенство)

[tex]p < x_{1} < q < x_{2} \Rightarrow \begin{array}{|l} b^{2}-4ac > 0 \\ a\cdot(ap^{2}+bp+c) > 0 \\ a\cdot(aq^{2}+bq+c) < 0 \\ -\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} >p \end{array}[/tex]

[tex]x_{1} < p < x_{2} < q \Rightarrow \begin{array}{|l} b^{2}-4ac > 0 \\ a\cdot(ap^{2}+bp+c) < 0 \\ a\cdot(aq^{2}+bq+c) > 0 \\ -\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} < q \end{array}[/tex]

Написах ги малко по спомен, малко по логика, добре е да попитате преподавателя си по математика дали са вярно написани. Освен това има няколко специални случая, които си струва да се познават като отделни варианти на системите. Всички решения по-горе изискват за квадратния тричлен да съществуват корените [tex]x_{1,2}[/tex], тоест графиката да се допира до или да пресича абсцисната ос.
Във втория и третия случай, корените не могат да бъдат равни, затова няма равенсто на нула за дискриминантата.