Задача с триъгълник (сбъркана?)

[Proto0o]

Отговорите са: BD=sqrt(3) и CD=2sqrt(3), което предполага, че О лежи на CD, но това не е дадено.

Исках да питам и за следната задача как се решава:
Ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е [tex]\alpha[/tex]. Височината към основата му е с k по-голяма от радиуса на вписаната окръжност. Намерете основата на триъгълника.

[Proto0o]

Отговорите са: BD=sqrt(3) и CD=2sqrt(3), което предполага, че О лежи на CD, но това не е дадено.

Исках да питам и за следната задача как се решава:
Ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е [tex]\alpha[/tex]. Височината към основата му е с k по-голяма от радиуса на вписаната окръжност. Намерете основата на триъгълника.

Изтри ми се половината дето написах ама както и да е аз ги оправих.

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВС (АС=ВС) с височина СН и нека К' (О;r) е вписана окр.
Дадено :[tex]\alpha[/tex] ,к
АВ=2а=?

От 2 изречение на условието [tex]\Rightarrow[/tex] СН=к+r
CO+HO=k+r
CO+r=k+r
CO=k (1)
([tex]\triangle[/tex]АНС -правоъгълен) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{AH}{AC} =\frac{a}{AC}[/tex] ;AC=[tex]\frac{a}{cos \alpha }[/tex] (2)

Нека окр.К' се допира до АС в т.Е .
[tex]\triangle[/tex]АНС[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ЕОС (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{АН}{ЕО}[/tex]=[tex]\frac{АС}{СО}[/tex]

[tex]\frac{a}{r}= \frac{AC}{k}[/tex] и от (2)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{r} =\frac{a}{k.cos \alpha }[/tex] ; r=k.cos[tex]\alpha[/tex] (3)

(За финал -[tex]\triangle[/tex]АНО е правоъгълен ) cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] =[tex]\frac{AH}{OH}[/tex]=[tex]\frac{a}{r}[/tex]
a=r.cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]
a=k.cos[tex]\alpha[/tex].cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] ([tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] е в | квадрант)

a=k.cos[tex]\alpha[/tex][tex]\sqrt{ \frac{1+cos \alpha }{1-cos \alpha } }[/tex]

a=k.cos[tex]\alpha[/tex].[tex]\frac{ \sqrt{1+cos \alpha } }{ \sqrt{1-cos \alpha } }[/tex] .[tex]\frac{ \sqrt{1-cos \alpha } }{ \sqrt{1-cos \alpha } }[/tex]

a=k.cos[tex]\alpha[/tex] .[tex]\frac{ \sqrt{1- cos^{2 } \alpha } }{1-cos \alpha }[/tex]

AB=2a= 2k.[tex]\frac{cos \alpha \sqrt{1- cos^{2 } \alpha } }{1-cos \alpha }[/tex]

[Гост]

Posledniq izraz ne e li [tex]AB=k\frac{sin 2\alpha}{1-cos \alpha}[/tex] ili zadaljitelno trqbwa da ostane kato funkcia na [tex]cos\alpha[/tex]?

[Гост]

[tex]\triangle[/tex]АВС (АС=ВС) с височина СН и нека К' (О;r) е вписана окр.
Дадено :[tex]\alpha[/tex] ,к
АВ=2а=?

От 2 изречение на условието [tex]\Rightarrow[/tex] СН=к+r
CO+HO=k+r
CO+r=k+r
CO=k (1)
([tex]\triangle[/tex]АНС -правоъгълен) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{AH}{AC} =\frac{a}{AC}[/tex] ;AC=[tex]\frac{a}{cos \alpha }[/tex] (2)

Нека окр.К' се допира до АС в т.Е .
[tex]\triangle[/tex]АНС[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ЕОС (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{АН}{ЕО}[/tex]=[tex]\frac{АС}{СО}[/tex]

[tex]\frac{a}{r}= \frac{AC}{k}[/tex] и от (2)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{r} =\frac{a}{k.cos \alpha }[/tex] ; r=k.cos[tex]\alpha[/tex] (3)

(За финал -[tex]\triangle[/tex]АНО е правоъгълен ) cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] =[tex]\frac{AH}{OH}[/tex]=[tex]\frac{a}{r}[/tex]
a=r.cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]
a=k.cos[tex]\alpha[/tex].cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] ([tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] е в | квадрант)

a=k.cos[tex]\alpha[/tex][tex]\sqrt{ \frac{1+cos \alpha }{1-cos \alpha } }[/tex]

a=k.cos[tex]\alpha[/tex].[tex]\frac{ \sqrt{1+cos \alpha } }{ \sqrt{1-cos \alpha } }[/tex] .[tex]\frac{ \sqrt{1-cos \alpha } }{ \sqrt{1-cos \alpha } }[/tex]

a=k.cos[tex]\alpha[/tex] .[tex]\frac{ \sqrt{1- cos^{2 } \alpha } }{1-cos \alpha }[/tex]

AB=2a= 2k.[tex]\frac{cos \alpha \sqrt{1- cos^{2 } \alpha } }{1-cos \alpha }[/tex]

Благодаря, аз тази успях да я реша, но не успях тези 2-те:
В равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) медианите AM и BN се пресичат в точка G. Да се намерят ъглите на ABC ако четириъгълникът NGMC е вписан в окръжност.

И другата е подобна само че в четириъгълникът е вписана окръжност и не съм сигурен дали не е грешка но пише. AC=AB, а не AC=BC.

[S.B.]

В равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) медианите AM и BN се пресичат в точка G. Да се намерят ъглите на ABC ако четириъгълникът NGMC е вписан в окръжност.

Без заглавие - 2023-05-04T155907.256.png (275.02 KiB) Прегледано 435 пъти

[tex]\triangle AMC \cong \triangle BNC[/tex]:
1)[tex]\angle C[/tex] е общ;
2)$AC = BC$ по условие
3) [tex]\begin{cases} CN = \displaystyle \frac{1}{2}AC \\ CM = \displaystyle \frac{1}{2}BC\\AC = BC \end{cases} \Rightarrow CN = CM[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AMC = \angle BNC[/tex]
От $NGMC$ вписан в окръжност [tex]\rightarrow \angle GMC + \angle GNC = 180 ^\circ , AM \cap BN = G \Rightarrow \angle AMC + \angle BNC = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle AMC = \angle BNC\\ \angle AMC + \angle BNC = 180 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \angle AMC = \angle BNC = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle AMC , \triangle BMC[/tex] са правоъгълни.
[tex]\triangle AMC[/tex] е правоъгълен , [tex]CM = \frac{AC}{2} \Rightarrow \angle CAM = 30 ^\circ \Rightarrow \angle ACM = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle ACM = 60 ^\circ \\ AC = BC \end{cases} \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равностранен
$$\Rightarrow \angle A = \angle B = \angle C = 60 ^\circ $$

[Proto0o]

В равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) медианите AM и BN се пресичат в точка G. Да се намерят ъглите на ABC ако четириъгълникът NGMC е вписан в окръжност.

Без заглавие - 2023-05-04T155907.256.png

[tex]\triangle AMC \cong \triangle BNC[/tex]:
1)[tex]\angle C[/tex] е общ;
2)$AC = BC$ по условие
3) [tex]\begin{cases} CN = \displaystyle \frac{1}{2}AC \\ CM = \displaystyle \frac{1}{2}BC\\AC = BC \end{cases} \Rightarrow CN = CM[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AMC = \angle BNC[/tex]
От $NGMC$ вписан в окръжност [tex]\rightarrow \angle GMC + \angle GNC = 180 ^\circ , AM \cap BN = G \Rightarrow \angle AMC + \angle BNC = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle AMC = \angle BNC\\ \angle AMC + \angle BNC = 180 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \angle AMC = \angle BNC = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle AMC , \triangle BMC[/tex] са правоъгълни.
[tex]\triangle AMC[/tex] е правоъгълен , [tex]CM = \frac{AC}{2} \Rightarrow \angle CAM = 30 ^\circ \Rightarrow \angle ACM = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle ACM = 60 ^\circ \\ AC = BC \end{cases} \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равностранен
$$\Rightarrow \angle A = \angle B = \angle C = 60 ^\circ $$

Много благодаря! Някаква идея за другата? В равнобедрен триъгълник ABC (AC=AB) медианите AM и BN се пресичат в точка G. Да се намерят ъглите на ABC ако четириъгълникът NGMC е описан около окръжност.

[S.B.]

Много благодаря! Някаква идея за другата? В равнобедрен триъгълник ABC (AC=AB) медианите AM и BN се пресичат в точка G. Да се намерят ъглите на ABC ако четириъгълникът NGMC е описан около окръжност.

Без заглавие - 2023-05-05T212113.108.png (205.55 KiB) Прегледано 395 пъти

По условие в четириъгълника $NGMC$ е вписана окръжност,центърът $O$ на която е пресечна точка на ъглополовящите на поне $3$ от ъглите на четириъгълника.
Нека $AM, BN, CL$ са медианите на [tex]\triangle ABC[/tex], като [tex]M \in BC , N \in AC ,L \in AB[/tex]
По условие [tex]AB = AC \Rightarrow[/tex] медианата [tex]AM \bot BC[/tex]
Построявам ъглополовящата $MP$ на [tex]\angle GMC[/tex]
[tex]MP \cap GC = O, OK \bot MC , OT \bot GM , \triangle TOM \cong KOM , OK = OT \Rightarrow[/tex] т.$О$ е център на вписаната в [tex]\angle GMC[/tex]окръжност ,която се допира до раменете му както следва:
До рамото $MG$ в т. $T$, а до рамото $MC$ в т.$K$
Окръжността е вписана в [tex]\angle MCN[/tex]:
т.[tex]K \in MC[/tex] ,а $MC$ е рамо на [tex]\angle MCN[/tex] и т.[tex]O \in CG \Rightarrow CG[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle MCN[/tex]
Аналогично същата окръжност е вписана и в [tex]\angle MGN[/tex]:
т. [tex]T \in GM[/tex] , а $GM$ е рамо на [tex]\angle MGN , O \in CG \Rightarrow CG[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle MGN[/tex]
Но отсечката [tex]CG \in CL[/tex], a $CL$ е медиана
Получи се , че медианата $CL$ е същевременно и ъглополовяща на [tex]\angle ACB \Rightarrow \triangle ACB[/tex] е равнобедрен и $AC = BC$
От [tex]\begin{cases} AC = BC \\ AC = AB \end{cases} \Rightarrow AB = BC = AC \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равностранен
$$ \angle A = \angle B = \angle C = 60 ^\circ $$