Екстремална задача

[Гост]

Здравейте, ще може ли малко помощ с тази задача? Стигнах донякъде, но не получавам отговора
В прав кръгов конус с радиус R=2cm и височина √2 cm е вписана правилна четириъгълна призма с възможно най-голям обем. Намерете лицето на повърхнината на призмата.

[ptj]

Мисля, е автора е разсъждавал горе-долу така:
Лицето на максималния квадрат, който се вписва в основата е [tex]S=d_1.d_2.sin( \varphi )=4.4.1=16[/tex] кв.см.
Максималния перпендикуляр към осноава на конуса е неговата височина, т.е. [tex]\sqrt{2}[/tex] см.
Тогава, максималния обем на вписаната четириъгълна призма е [tex]V= \frac{1}{3}.S.h= \frac{1}{3}.16. \sqrt{2}= \frac{16 \sqrt{2} }{3}[/tex]. Няма да смятам лицето на повърхнина...

Прекрасна идея, но за съжаление некоректна.
По- принцип резултата е верен, но е прекалено сложно един дванадесотокласник да го обоснове.
Доказването ,че няма друго по-добро разположение за пирамидата (например два върха от основата върху кръга, а останалите три върху околната стена на конуса) не е никак лесно.

[Гост]

Формулата за обем,която сте написали не е за призма,а за пирамида.
Изобщо в конуса как ще се впише призма???

[Гост]

Изобщо в конуса как ще се впише призма???

Лесно!

[S.B.]

Здравейте, ще може ли малко помощ с тази задача? Стигнах донякъде, но не получавам отговора
В прав кръгов конус с радиус R=2cm и височина √2 cm е вписана правилна четириъгълна призма с възможно най-голям обем. Намерете лицето на повърхнината на призмата.

Без заглавие - 2023-05-17T101151.305.png (382.95 KiB) Прегледано 1558 пъти

Разглеждам осното сечение на конуса - [tex]\triangle MNP[/tex] в който диагоналното сечени на вписаната призма е правоъгълникът [tex]AC C_{1 } A_{1 }[/tex]
Нека [tex]PH \bot MN, H \in MN , PH = \sqrt{2} , MH = NH = R = 2, AC = 2x , C C_{1 } = h[/tex]
$$V_{призм. } = S_{ABCD }.C C_{1 } \Leftrightarrow V = 2 x^{2 }.h $$
[tex]\triangle P H_{1 } C_{1 } \approx \triangle CN C_{1 }[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{ H_{1 } C_{1 } }{CN} = \frac{P H_{1 } }{C C_{1 } } \Leftrightarrow \frac{x}{2 - x} = \frac{ \sqrt{2} - h}{h}[/tex] след преработка се получава:
$$x = \frac{2 \sqrt{2} - 2h}{ \sqrt{2} } $$
Замествам в обема и образувам функция от $h$:
[tex]V = 2 x^{2 }h = V(h) = 2 [ \frac{2 \sqrt{2} - 2h }{ \sqrt{2} }] ^{2 }.h \Leftrightarrow[/tex]
[tex]V(h) = 4h^{3 } - 8 \sqrt{2} h^{2 } + 8h[/tex] ,където [tex]h \in (0 ; \sqrt{2}][/tex]
[tex]V'(h) = 12 h^{2 } - 16 \sqrt{2} h+ 8[/tex]
[tex]V '(h) = 0 \Leftrightarrow h_{1 } = \sqrt{2} , h_{2 } = \frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex] за тези стойности на $h$ обема приема екстремални стойности
[tex]V''(h) = 24h - 16 \sqrt{2}[/tex]
[tex]V''( \sqrt{2} ) = 8 \sqrt{2}> 0 \Rightarrow[/tex] тук обема е минимален
[tex]V''( \frac{ \sqrt{2} }{3}) = -8 \sqrt{2}< 0 \Rightarrow[/tex] за [tex]\frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex] обема е максимален
Вярвам,че сега вече Гост ще може да завърши самостоятелно задачата.Успех!

[ptj]

Извинявам се, за пореден път не съм прочел правилно условието.

И отново имам много важна забележка:
Никой не е доказал, че пирамида може да се впише в конуса само когато 2 от основите на двете тела лежат в една и съща равнина.
Ако това изрично не е указано (в условието) задачата е твърде трудна за обикновени 12-то класници.

[Гост]

Извинявам се, за пореден път не съм прочел правилно условието.

И отново имам много важна забележка:
Никой не е доказал, че пирамида може да се впише в конуса само когато 2 от основите на двете тела лежат в една и съща равнина.
Ако това изрично не е указано (в условието) задачата е твърде трудна за обикновени 12-то класници.

A be ptj kakva piramida? V zadachata se govori za prizma.

[ptj]

Имах предвид призма.

[peyo]

Извинявам се, за пореден път не съм прочел правилно условието.

И отново имам много важна забележка:
Никой не е доказал, че пирамида може да се впише в конуса само когато 2 от основите на двете тела лежат в една и съща равнина.
Ако това изрично не е указано (в условието) задачата е твърде трудна за обикновени 12-то класници.

Хм... Аз се опитах да намеря такова доказателство и не можах. Това сякаш е нерешен проблем?!

[peyo]

Извинявам се, за пореден път не съм прочел правилно условието.

И отново имам много важна забележка:
Никой не е доказал, че пирамида може да се впише в конуса само когато 2 от основите на двете тела лежат в една и съща равнина.
Ако това изрично не е указано (в условието) задачата е твърде трудна за обикновени 12-то класници.

Хм... Аз се опитах да намеря такова доказателство и не можах. Това сякаш е нерешен проблем?!

Всъщност лесно се даказва за триъгълна пирамида, защото всяка стена е и основа. Мисля, че лесно ще се докаже и за пирамида с безкраен брой страни на основата, защото става конус. Случая за пирамида с основа 4-ъгълник е по-интересен.