Даден е правилен тетраедър ABCD

[Гост]

14. Даден е правилен тетраедър ABCD с ръб 2 см. Разстоянието между двойка кръстосани ръбове е равно на:
А) [tex]\sqrt{3}[/tex] Б) 2[tex]\sqrt{3}[/tex] В) [tex]\sqrt{2}[/tex] Г) 1
15. Ако сборът на членовете на безкрайна геометрична прогресия е 6,25 и сборът от квадратите им е 26[tex]\frac{1}{24}[/tex], то първият член на прогресията е:
А) [tex]\frac{1}{5}[/tex] Б) -25 В) 5 Г) -5
​

[Proto0o]

14.
Двойките кръстосани ъгли в тетраедъра са: AD и BC, BD и AC, AB и CD. Ще избера AB и CD. Разстоянието между тях се явява височината в триъгълника ABD - DH. Правим питагорова и се получава DH^2=AD^2-AH^2 => DH^2=4-1=3
=> DH = [tex]\sqrt{3}[/tex] - А)

[Proto0o]

15.
Тъй като сбора на безкрайна растяща геометрична прогресия ще е безкрайност, се предполага, че прогресията е намаляваща, тоест |q| < 1, за което важи формулата за "Сума на безкрайна геометрична прогресия с частно q, за което |q| < 1":
S = [tex]\frac{a_{1 }}{1-q}[/tex]

Означавам сбора на първата геометрична прогресия с S1 = 6.25 = [tex]a_{1 }[/tex]/(1-q).
Ако първата прогресия е [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{1 }[/tex]q, [tex]a_{1 }[/tex]q^2, ..., то втората ще е [tex]a_{1 }[/tex]^2, [tex]a_{1 }[/tex]^2q^2, [tex]a_{1 }[/tex]^2q^4, ... - първи член [tex]a_{1 }[/tex]^2 и частно q^2 => S2 = 26+1/4 = [tex]a_{1 }[/tex]^2/(1-q^2)
Решаваме системата:
[tex]a_{1 }[/tex]/(1-q)=6.25
[tex]a_{1 }[/tex]^2/(1-q^2)=26+1/24

Аз я решавам така:
S2/S1 = [tex]\frac{a_{1 }^2}{1-q^2}[/tex] * [tex]\frac{1-q}{a_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{a_{1 }}{1+q}[/tex] = (26+1/24)/6.25
и после слагам полученото с едно от другите 2 уравнения в нова система.

и се получава [tex]a_{1 }[/tex] = 5, q = 1/5 - В).

[Гост]

14.
Двойките кръстосани ъгли в тетраедъра са: AD и BC, BD и AC, AB и CD. Ще избера AB и CD. Разстоянието между тях се явява височината в триъгълника ABD - DH. Правим питагорова и се получава DH^2=AD^2-AH^2 => DH^2=4-1=3
=> DH = [tex]\sqrt{3}[/tex] - А)

И аз така го сметнах, но в учебника пише отговор В), може би има грешка в отговорите.

[KOPMOPAH]

Даден е правилен тетраедър.png (12.43 KiB) Прегледано 1949 пъти

Точките $M$, $N$, $P$ и $Q$ са среди на съответните ръбове. Сечението $MNPQ$ е квадрат със страна $1$ (защо? ). В него $MP$ и $NQ$ са диагонали, значи са равни на $\sqrt 2$. Но те се явяват и разстоянията межу срещуположните ръбове. Извод - правилният отговор е В).

[Гост]

:0 мерси и на двамата!

[S.B.]

14. Даден е правилен тетраедър ABCD с ръб 2 см. Разстоянието между двойка кръстосани ръбове е равно на:
А) [tex]\sqrt{3}[/tex] Б) 2[tex]\sqrt{3}[/tex] В) [tex]\sqrt{2}[/tex] Г) 1
​

Без заглавие - 2023-06-01T154509.203.png (301 KiB) Прегледано 1941 пъти

Ето и още един поглед върху задачата:

Разстоянието между две кръстосани прави е дължината на тяхната трансверзала, а именно отсечката -ос , която ги свързва и която е перпендикулярна на всяка от тях

Нека [tex]M \in AB ,AM = BM , N \in CD ,CN = DN[/tex]
За да докажем,че $MN$ е трансврзала на $AB$ и $CD$ ,ще трябва да докажем ,че:
[tex]MN \bot AB , MN \bot CD[/tex]

Доказателство:

[tex]CM = \frac{2 \sqrt{3} }{2}[/tex] като височина в равностранния [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]DM = \frac{2 \sqrt{3} }{2}[/tex] Като височина в равностранния [tex]\triangle ABD[/tex]
[tex]MN[/tex] е височина в равнобедрения [tex]\triangle CMD[/tex]
$$\Rightarrow MN \bot CD$$

[tex]CM[/tex] е ортогоналната проекция на $MN$ в равнината $(ABC)$
$CM \bot AB $ и по теоремата за трите перпендикуляра
$$\Rightarrow MN \bot AB$$
[tex]\Rightarrow MN[/tex] е търсената трансверзала

За [tex]\triangle CMN[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]MN^{2 } = CM^{2 } - CN^{2 } \Leftrightarrow CM = \sqrt{ ( \frac{2 \sqrt{3} }{2}) ^{2 } - 1 } = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}[/tex]
$$\Rightarrow MN = \sqrt{2} $$