Задача с четириъгълник

[Proto0o]

Изпъкналият четириъгълник ABCD има страни AB = BC = 13 cm, AD = CD = 5sqrt(5) cm и диагонал BD = 22 cm. Ако P е пресечната точка на диагоналите AC и BD на ABCD, намерете дължината на AC и разстоянието между медицентровете на триъгълниците ABP и CDP.

Намерих AC = 10 (
Косинусова в ADB или DCB, защото са еднакви и получих cosDAB=cosDCB= -19*sqrt(5)/65. После изкрах sin на този ъгъл и намерих лицето (може би щеше да е по-лесно с Херонова, но това се сетих първо) на четириъгълника и от там изкрах, че AC*sin[tex]\varphi[/tex] = 10 (лице на прозиволен четириъгълник), но sin[tex]\varphi[/tex]=1, защото AP и CP са височини)
и после намерих медианите в ABP и CDP, че са половината от хипотенузите им и разстоянията от върха P до медицентровете (13/3 и 5*sqrt(5)/3), но не знам как мога да намеря разстоянието между самите медицентрове.

[Knowledge Greedy]

Ти си решил всичко, човече! Минал си покрай отговора.
Ще се опитам без чертеж, да ти кажа как да довършиш.

Знаем, че медицентърът е на разстояние [tex]\frac{1}{3}h[/tex] - от височината към страната, където [tex]h[/tex] e височината към тази страна, към която е спусната разглежданата медиана.
В случая се интересуваме от [tex]h_{BP}[/tex] и [tex]h_{DP}[/tex] , които всъщност са равни. Сега конструираме само един правоъгълен триъгълник, на който знаем катетите,
а [tex]G_1G_2[/tex] e неговата хипотенуза.

[Proto0o]

Ти си решил всичко, човече! Минал си покрай отговора.
Ще се опитам без чертеж, да ти кажа как да довършиш.

Знаем, че медицентърът е на разстояние [tex]\frac{1}{3}h[/tex] - от височината към страната, където [tex]h[/tex] e височината към тази страна, към която е спусната разглежданата медиана.
В случая се интересуваме от [tex]h_{BP}[/tex] и [tex]h_{DP}[/tex] , които всъщност са равни. Сега конструираме само един правоъгълен триъгълник, на който знаем катетите,
а [tex]G_1G_2[/tex] e неговата хипотенуза.

Не те разбрах особено.

Знаем, че медицентърът е на разстояние [tex]\frac{1}{3}h[/tex] - от височината към страната, където [tex]h[/tex] e височината към тази страна, към която е спусната разглежданата медиана.

Това не разбрах от къде идва и какво общо има височината с медианата. Знам, че медицентъра дели 2:1 медианите и ако се начертае височина и към височината от медицентъра се спусне височина ще се получат 2 подобни триъгълника и тяхното отношение ще е 3:2. Пример: ABC, медиана - CM, височина - CH, медицентър - О и OH1 - височина от медицентъра към височината и подобните триъгълници ще са MHC ~ OH1C => CH1/CH=OH1/MH=CO/CM=2/3.

В случая се интересуваме от [tex]h_{BP}[/tex] и [tex]h_{DP}[/tex] , които всъщност са равни. Сега конструираме само един правоъгълен триъгълник, на който знаем катетите,
а [tex]G_1G_2[/tex] e неговата хипотенуза.

Височината към DP и BP не са ли самите DP и BP, зщаото диагоналите на четириъгълника са перпендикулярни. И не са равни нали защото ADC и ABC са равнобедрени, но с различни бедра (13 и 5sqrt(5)).