Вписана окръжност в равностранен тригълник

[Proto0o]

Равностранен триъгълник ABC е описан около окръжност k с радиус r. Височината BM (M[tex]\in[/tex]AC) пресича k в точка D, а D` е точката, симетрична на D относно правата AC. Допирателната t към k през D` и върха A лежат в една и съща полуравнина относно правата BD`.
а) ако F е допирната точка на k с t, докажете, че sin([tex]\angle[/tex]BD`F = 1/3).
б) ако N е пресечната точка на t със страната AB, намерете дължината на отсечката FN

Доказах а) и намерих разни неща за б), но не можах да намеря FN.
O - център на окръжността, CH - медиана, височина, ъглополовяща,симетрала.
Намерих, че страната на триъгълника a = 2*sqrt(3)r, AH = sqrt(3)r, FD` = sqrt(5)r, MD` = 2r, MO = DO = BD = OF = r.
NF = NH - допирателни към k.

[S.B.]

Равностранен триъгълник ABC е описан около окръжност k с радиус r. Височината BM (M[tex]\in[/tex]AC) пресича k в точка D, а D` е точката, симетрична на D относно правата AC. Допирателната t към k през D` и върха A лежат в една и съща полуравнина относно правата BD`.
а) ако F е допирната точка на k с t, докажете, че sin([tex]\angle[/tex]BD`F = 1/3).
б) ако N е пресечната точка на t със страната AB, намерете дължината на отсечката FN

Доказах а) и намерих разни неща за б), но не можах да намеря FN.

Без заглавие - 2023-06-05T231301.366.png (274.43 KiB) Прегледано 2730 пъти

Окръжността $k$ се допира до раменете на [tex]\angle D_{1 }NB[/tex] в точките $F$ и $P$
Центърът на $k$ лежи на ъглополовящата на [tex]\angle D_{1 }NB[/tex] (защото ъглополовящата е геометрично място на центровете на всички окръжности,които се допират до раменете на даден ъгъл)
[tex]\Rightarrow ON[/tex] е ъгълополовяща
[tex]\triangle FNO \cong \triangle PNO[/tex] ( Защо?)
[tex]\Rightarrow FN = PN = x \Rightarrow D_{1 }N = D_{1 }F + x , BN = BP + x[/tex]
За [tex]\triangle D_{1 }NB[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{ D_{1 }N }{\sin \angle NBD} = \frac{ND}{\sin \angle B D_{1 } N} \Leftrightarrow \frac{2r \sqrt{2} + x}{ \frac{1}{2} } = \frac{r \sqrt{3} + x}{ \frac{1}{3} }[/tex]
От тук нататък вярвам,че ще можеш да се справиш самостоятелно.Успех!

[Proto0o]

Равностранен триъгълник ABC е описан около окръжност k с радиус r. Височината BM (M[tex]\in[/tex]AC) пресича k в точка D, а D` е точката, симетрична на D относно правата AC. Допирателната t към k през D` и върха A лежат в една и съща полуравнина относно правата BD`.
а) ако F е допирната точка на k с t, докажете, че sin([tex]\angle[/tex]BD`F = 1/3).
б) ако N е пресечната точка на t със страната AB, намерете дължината на отсечката FN

Доказах а) и намерих разни неща за б), но не можах да намеря FN.

Без заглавие - 2023-06-05T231301.366.png

Окръжността $k$ се допира до раменете на [tex]\angle D_{1 }NB[/tex] в точките $F$ и $P$
Центърът на $k$ лежи на ъглополовящата на [tex]\angle D_{1 }NB[/tex] (защото ъглополовящата е геометрично място на центровете на всички окръжности,които се допират до раменете на даден ъгъл)
[tex]\Rightarrow ON[/tex] е ъгълополовяща
[tex]\triangle FNO \cong \triangle PNO[/tex] ( Защо?)
[tex]\Rightarrow FN = PN = x \Rightarrow D_{1 }N = D_{1 }F + x , BN = BP + x[/tex]
За [tex]\triangle D_{1 }NB[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{ D_{1 }N }{\sin \angle NBD} = \frac{ND}{\sin \angle B D_{1 } N} \Leftrightarrow \frac{2r \sqrt{2} + x}{ \frac{1}{2} } = \frac{r \sqrt{3} + x}{ \frac{1}{3} }[/tex]
От тук нататък вярвам,че ще можеш да се справиш самостоятелно.Успех!

Много благодаря! Не знам как не се сетих за синусова и благодаря, че не видях, че съм объркал и FD` = 2*sqrt(2)r, а не sqrt(5)r.