Пловдивски университет 2000 г.

[Proto0o]

Даден е трапецът ABCD (AB || CD). Окръжността k минава през B, C и центъра О на описаната около трапеца окръжност и пресича голямата основа AB на трапеца в точка M. Ако [tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ACB = 2[tex]\alpha[/tex], докажете, че [tex]\angle[/tex]BOC=[tex]\angle[/tex]BMC=2[tex]\alpha[/tex]
и BM:BA = 1:4[tex]cos^{2 } \alpha[/tex].

Доказах, че [tex]\angle[/tex]BOC=[tex]\angle[/tex]BMC=2[tex]\alpha[/tex], доказва се лесно с централния ъгъл на малката окръжност, но не знам как да докажа второто.

[Гост]

AM=MC
Синусова теорема в MCB.

[Евва]

Ще докажем ,че [tex]\frac{BA}{BM}[/tex]=4[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ABC) [tex]\angle[/tex]ABC=180[tex]^\circ[/tex]- 3[tex]\alpha[/tex]
Доказали сме ,че [tex]\angle[/tex]BMC=2[tex]\alpha[/tex] .
В [tex]\triangle[/tex]МВС намираме [tex]\angle[/tex]МСВ=[tex]\alpha[/tex] (1)
[tex]\angle[/tex]ACM=[tex]\angle[/tex]ACB-[tex]\angle[/tex]MCB т.е. [tex]\angle[/tex]АСМ=[tex]\alpha[/tex] (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] СМ е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]АВС .

Скрит текст: покажи

Остава да приложиш sin T в [tex]\triangle[/tex]АВС .

Скрит текст: покажи

Ако не се справите ,тогава ще пратя 2 част от решението си .