Функция

[Гост]

Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{x^{2}-2x+2}{x-1}[/tex]. Да се намерят абцисите на точките от графиката на функцията, в които тя има допирателна успоредна на правата [tex]y=-\frac{1}{3}x-5[/tex]

[ammornil]

Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{x^{2}-2x+2}{x-1}[/tex]. Да се намерят абцисите на точките от графиката на функцията, в които тя има допирателна успоредна на правата [tex]y=-\frac{1}{3}x-5[/tex]

Нека допирателната има нормално уравнеие от вида [tex]t: \hspace{0.3em} y=kx+m[/tex]. Понеже правата е успоредна на [tex]y=-\frac{1}{3}x-5 \Rightarrow k=-\frac{1}{3} \rightarrow t: \hspace{0.3em} y=-\frac{1}{3}x+m[/tex]

Наклонът на допирателната е равен на стойността на първата производна в точката на допиране [tex]f'(x)=k[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{(2x-2)(x-1)-(x^{2}-2x+2)\cdot{1}}{(x-1)^{2}}=\frac{2x^{2}\cancel{-2x}-2x\cancel{+2}-x^{2}\cancel{+2x}\cancel{-2}}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}[/tex]

[tex]f'(x)=-\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=-\frac{1}{3} \Leftrightarrow 3x^{2}-6x=-x^{2}+2x-1 \Leftrightarrow 4x^{2}-8x+1=0[/tex]

[tex]D=4^{2}-4\cdot 1=12 \rightarrow x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}[/tex]това са абсцисните координати на точките, в които допирателните към функцията са успоредни на дадената права.

Screenshot 2023-10-17 193426.png (24.72 KiB) Прегледано 2428 пъти