Най-малка и най-голяма стойност на функция

[Гост]

20231018_010315.jpg (398.2 KiB) Прегледано 2871 пъти

[ammornil]

Скрит текст: покажи

Условията една функция да има локален екстремум в даден интервал са: (1) да е непрекъсната в интервала на разглеждане; (2) първата ѝ произоводна да съществува и (3) за стойност на променливата в интервала на разглеждане първата ѝ производна да е равна на нула.
Природата на екстремума може да се определи по няколко начина. Най-общият начин е да се намери втората производна на функцията и да се пресметне стойността ѝ за точките, където първата производна е нула. Ако втората производна е положителна, функцията има минимум в тази точка. Ако втората производна е отрицателна, функцията има максимум в тази точка. Ако втората произодна е нула, то точката се нарича "инфлексна" и представлява промяна в характера на графиката, но не е локален екстремум. На приложената графика, удебелената черна точка е инфлексна, от вдлъбната графиката става изпъкнала, но точката не е нито най-голяма нито най-малка стойност за околностите си. (кредит за графиката "Хан" Академия)

inflex.png (3.37 KiB) Прегледано 2857 пъти

Решаваме задачата отзад напред. Най-напред намираме локалните екстремуми на втората функция. Определяме нейния максимум и за каква стойност на аргумента се получава тя. Намираме формата на минимума на първата функция. Заместваме в него със стойността на неизвестното от максимума на първата функция. Намираме стойността на [tex]a[/tex].

[tex]f(x)=5x^{3}+6x^{2}-3x+1 \\ \text{ДМ}: \hspace{1em} \forall x \in \mathbb{R} \\ f'(x)=3\cdot 5x^{3-1}+2\cdot 6x^{2-1}-1\cdot 3x^{1-1}+0=15x^{2}+12x-3 \\ f''(x)=2\cdot 15x^{2-1}+1\cdot 12x^{1-1}+0=30x+12 \\ f'(x)=0 \rightarrow 15x^{2}+12x-3=0 \\ \hspace{6em} D=12^{2}-4\cdot{15}\cdot{(-3)}=144+180=324 \rightarrow \sqrt{D}=18 \rightarrow x_{1,2}=\frac{-12\pm18}{2\cdot{15}} \rightarrow \begin{cases} x_{1}=-1 \\ x_{2}=\frac{1}{5} \end{cases} \\ f''(x_{1})=30\cdot{(-1)}+12=-18<0 \Rightarrow f(x_{1})=f(x)_{max} \\ f''(x_{2})=30\cdot{\frac{1}{5}}+12=18>0 \Rightarrow f(x_{2})=f(x)_{min}[/tex]
Ще използваме стойността на [tex]x_{1}[/tex] защото в нея функцията има максимум. За да избегнем проблеми с означенията ще означим тази стойност с [tex]x_{M}[/tex]. Обръщаме се и разглеждаме първата функция.
[tex]f(x)=ax^{3}-2x^{2}+5x+9 \\ \text{ДМ}: \hspace{1em} \forall x \in \mathbb{R} \\ f'(x)=3\cdot ax^{3-1}-2\cdot 2x^{2-1}+1\cdot 5x^{1-1}+0=3ax^{2}-4x+5 \\ f''(x)=2\cdot 3ax^{2-1}-1\cdot 4x^{1-1}+0=6ax-4[/tex]
От условието знаем, че: [tex]f(x_{M})=f(x)_{min} \Rightarrow \begin{array}{|l} f'(x_{M})=0 \\ f''(x_{M})>0 \end{array}, x_{M}=-1[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 3\cdot a\cdot (-1)^{2}-4\cdot (-1) +5=0 \\ 6\cdot a\cdot (-1) >0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 3a+9=0 \\ -6a > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a=-3 \\ a < 0 \end{array} \Rightarrow[/tex]$$ a= -3$$
Надявам се решението да Ви е от полза.

[Гост]

Благодаря Ви!

[ammornil]

Screenshot 2023-10-18 154555.png (51.42 KiB) Прегледано 2842 пъти

[Гост]

f(x) = x - 4х + 1 за: х € [-2;1]; х € [0; 3]; х € [2; 4]

[ammornil]

Не разбирам какво се иска в задачата...
Освен това, има ли някаква степен за първия хикс във формата на функцията?