Прогресии (от състезание 2007)

[Laptopka]

Здравейте. Попаднах на една задача от Димитровденското състезание във Видин от 2007 година.

Да се намерят всички аритметични прогресии [tex]a_{1}, a_{2}, a_{3}[/tex]..., за които [tex]a_{3}^{2} - a_{1}.a_{9} = 3[/tex] , [tex]a_{1}^{2} + a_{5}^{2} = 2[/tex] и [tex]S_{6} < 0[/tex] , където [tex]S_{6}[/tex] е сумата от първите шест члена на съответната прогресия.

Отговорите са [tex](1; - \frac{1}{2} ) ; ( - \frac{5}{\sqrt{13}} ; \frac{3}{2 \sqrt{3}} )[/tex] , но как се получават..?

[L.e.o]

2те уравнения си ги разпиши като ги представиш различните членове чрез а1 и d:
(a1+2d)^2 = 3 +a1 (a1+8d) (edited: пропуснат знак +)
a1^2 + (a1+4d)^2 = 2
Две уравнения и две неизвестни.
Намираш си решенията.
След като вече си намирил решенията за а1 и d, проверяваш за кои от тях е изпълнено S6 < 0.

[Anubis]

Системата, която трябва да решим, е в горния пост (там има само лека грешка в един знак, , вместо събиране е

написано умножение).

[tex]a_{1}=x, \, d \Rightarrow \begin{array}{||} (x+2d)^2-x(x+8d)=3 \\ x^2+(x+4d)^2=2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} 4d^2-4xd=3 \\ x^2+4xd+8d^2=1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} 8d^2-8xd=6 \\ 8d^2+4xd+x^2=1 \end{array}[/tex]

От първото уравнение изваждаме второто и след лека преработка намираме [tex]d = \frac{-5-x^2}{12x}[/tex] ([tex]x=0, \, d=0[/tex] не е

решение на системата).

Заместваме в [tex]4d^2-4xd=3[/tex] и имаме [tex]4.\frac{\left ( 5+x^2 \right )^2}{144x^2}+4.x.\frac{5+x^2}{12x}=3 \Leftrightarrow \left ( 5+x^2 \right )^2+12 \left ( 5+x^2 \right ) x^2 = 3.36 x^2[/tex].

Полагаме [tex]x^2=t \ge 0[/tex] и получаваме уравнението [tex]13t^2-38t+25=0 \Leftrightarrow t_{1} = \frac{25}{13}, \, t_{2} = 1[/tex]. Така

[tex]x_{1} = \frac{5}{\sqrt{13}}, \, x_{2} = -\frac{5}{\sqrt{13}}, \, x_{3} = 1, \, x_{4} = -1 \Rightarrow d_{1} = -\frac{3}{2\sqrt{13}}, \, d_{2} = \frac{3}{2\sqrt{13}}, \, d_{3} = -\frac{1}{2}, \, x_{4} = \frac{1}{2}[/tex].

След проверка на всяка от двойките [tex]\left ( \frac{5}{\sqrt{13}}; \, -\frac{3}{2\sqrt{13}} \right ), \, \left ( -\frac{5}{\sqrt{13}}; \, \frac{3}{2\sqrt{13}}\right ), \, \left ( 1; \, -\frac{1}{2}\right ), \, \left ( -1; \, \frac{1}{2}\right )[/tex] в условието [tex]S_{6}<0[/tex]

намираме и отговора.