Модулни и логаритмични уравнения

[Гост]

Здравейте! Моля за помощ за следните задачи:

Зад.1 Решете модулните уравнения:

а) |[tex]x^{2 }[/tex] - 5| = 4

б) |[tex]x^{2 }[/tex] - 5x - 3| = 3

Зад.2 Решете логаритмичните уравнения:

а) [tex]log_{3 }[/tex] (2x-1) = 2

б) [tex]log_{2 }[/tex] ([tex]x^{2 }[/tex] - 2x ) = 3


Благодаря предварително за помощта! Весели празници на всички!

[KOPMOPAH]

Задача 1, подточка а):

$~~~~~~|x^2-5|=4$

1. $x\in (-\infty,-\sqrt5]\cup[\sqrt5,\infty)\Leftrightarrow |x^2-5|=x^2-5$

$~~~~~~|x^2-5|=4\Rightarrow x^2-5=4\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3 \in (-\infty,-\sqrt5\big]\cup\big[\sqrt5,\infty) \Rightarrow x_1=-3, x_2=3$

2. $x\in [-\sqrt5,\sqrt5] \Leftrightarrow |x^2-5|=-x^2+5$

$~~~~~~|x^2-5|=4\Rightarrow -x^2+5=4\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1 \in [-\sqrt5,\sqrt5] \Rightarrow x_3=-1, x_4=1$

Идеята при такива модулни уравнения е следната - намират се интервалите, в които изразът в модула е положителен или отрицателен. Когато е положителен - остава непроменен, а когато е отрицателен трябва да се умножи по $(-1)$. Нататък се решава като обикновено уравнение.

[S.B.]

Здравейте! Моля за помощ за следните задачи:



Зад.2 Решете логаритмичните уравнения:

а) [tex]log_{3 }[/tex] (2x-1) = 2

б) [tex]log_{2 }[/tex] ([tex]x^{2 }[/tex] - 2x ) = 3


Благодаря предварително за помощта! Весели празници на всички!

По дефиниция:
$$\log_{a }b = c , a>0,a \ne 1, b>0 \Rightarrow b = a^{c } $$
Тогава в твоята задача:
[tex]\log_{3 } (2x - 1) = 2 \rightarrow 2x - 1 = 3^{2 }[/tex] , като задължително е изпълнено :[tex]2x - 1 >0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}[/tex]


[tex]2x - 1 = 3^{2 } \Leftrightarrow 2x - 1 = 9 \Leftrightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5> \frac{1}{2}[/tex]

Втората задача се решава по същия начин,като се получава квадратно уравнение и квадратно неравенство,което не е нов материал и вярвам ,че ще се справиш.Успех!