Екстремални задачи в равнината (успоредник)

[Гост]

Намерете най-голямото лице на успоредник АВСD, за който АС=14,а ъгъл BAD =60°

[KOPMOPAH]

Намерихме - равно е на $\frac {98\sqrt 3}3$

[Евва]

Този отговор се получава при ABCD - ромб .

[Гост]

Може ли да представите пълното решение

[Гост]

Екстремална задача в равнината (успоредник)-page-001 (1).jpg (116.52 KiB) Прегледано 3114 пъти

[Гост]

В решението по-горе, във формулата за косинусова теорема за триъгълника ABC, да се чете cos120, вместо cos60.

[Гост]

А задачата може ли да се реши и чрез първа производна и съответно локален максимум? Тъй като и на нас ни я дадоха за домашна,но изискват първа производна

[Гост]

Производна-page-001.jpg (203.63 KiB) Прегледано 3088 пъти

[Гост]

Благодаря

[S.B.]

А задачата може ли да се реши и чрез първа производна и съответно локален максимум? Тъй като и на нас ни я дадоха за домашна,но изискват първа производна

Може! И така трябва щом сте в 12 клас!

Без заглавие - 2024-01-05T181606.750.png (202.29 KiB) Прегледано 3049 пъти

$$ S_{ABCD } = AB.AD.\sin \angle DAB$$
[tex]AB = CD = a,BC = AD = b , \angle DAB = 60 ^\circ, \angle ABC = 120 ^\circ[/tex]
[tex]S_{ABCD } = ab\sin60 ^\circ \Leftrightarrow ab \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
Т.е. лицето на твоя успоредник се явява функция на страните му.
Нека фиксираме една от страните - $AD = BC = b$ , а другата страна оставим променлива - $AB = CD = x$,за да можем да я определим спрямо другата страна.Получаваме:
$$S_{ABCD } = bx \frac{ \sqrt{3} }{2}$$

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:

[tex]AC^{2 } = AB^{2 } + BC^{2 } - 2.AB.BC.\cos 120 ^\circ \Leftrightarrow 196 = x^{2 } + b^{2 } +bx \Leftrightarrow 196 = x^{2 } + b^{2 } -2bx + 2bx + bx \Leftrightarrow[/tex]

[tex]196 = (x - b)^{2 }+3bx \Leftrightarrow 3bx = 196 - (x - b)^{2 } \Leftrightarrow3 \frac{ \sqrt{3} }{2}bx = \frac{ \sqrt{3} }{2}[196 - (x - b)^{2 }][/tex]
[tex]\Leftrightarrow bx \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{ \sqrt{3} }{6} [196 - (x - b)^{2 }][/tex]
$$\Rightarrow S(x) = \frac{ \sqrt{3} }{6}.196 - \frac{ \sqrt{3} }{6} (x - b)^{2 }$$
[tex]S'(x) = - \frac{ \sqrt{3} }{3}(x - b) = 0 \Rightarrow x = b[/tex] получихме ,че когато страните на успоредника са равни (когато е ромб!) имаме екстреум
[tex]S''(x) = - \frac{ \sqrt{3} }{3} < 0 \Rightarrow[/tex] т.е. имаме максимум, който се постига,когато успоредникът се изроди в ромб .
[tex]S_{max } = \frac{ \sqrt{3} }{6}.196[/tex]
$$\Rightarrow S_{max } = \frac{98 \sqrt{3} }{3} $$

[ptj]

Има и друго сравнително кратко решение, но не за ученици.

Да спуснем двете височини от [tex]DD_1[/tex] и [tex]BB_1[/tex] към [tex]AC[/tex].

Нека [tex]\angle DAC= \alpha[/tex] и [tex]AD_1=x[/tex].

[tex]S_{ABCD}=S_{ \triangle ABC}+S_{ \triangle ADC}= \frac{AC}{2}(BB_1+DD_1)=7x.tg( \alpha)+7(14-x)tg(90- \alpha )=f(x, tg( \alpha)) .[/tex]
[tex][/tex]
Последното е функция на две променливи. Има теорема гласяща, че екстремумите на фукциите на много променливи във вътрешна точка на дефиниционното множество имат необходимо условие за нулиране на частните производни (ако съществуват).

В случая и двете частни производни са дефинирани (съществуват) в цялата дефиниционна област, което гарантира непрекъснатоста на функцията в цялата дефиниционна област.

От двете частни производни намираме [tex]tg \alpha - tg(60 ^\circ - \alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha=30 ^\circ[/tex] и [tex]2x-14=0 \Leftrightarrow x=7[/tex], т.е. съответстват на ромб.

Mоже директно да сравним намерената функционална стойност (за [tex]x=7[/tex] и [tex]\alpha=30 ^\circ)[/tex] със стойността на функцията в крайните точки (очевидна 0). Т.е. при ромба имаме максимум, защото съответната функция е положителна.

П.П. Ако учителят ви не е бил добър студент, спокойно може да запишете функцията само като аргумент на [tex]x[/tex] (съответно [tex]sin( \alpha )[/tex] да е параметър) и нулирайки производната да спестите обясненията по-горе...

[ptj]

Малко пояснение за последната ми забележка:

Теоретично при наличие на връзка между отделните променливи, ако разглеждате функцията спрямо само една от променливите, е възможно да полуте нейна възможна екстремална точка, при която една от другите променливи (в случая [tex]tg( \alpha)[/tex]) да е извън ограничението (при нас то е [tex]0 \angle \alpha <60 ^\circ[/tex]).
За щастие това не важи за конкретната задача. Т.е. може да приемете:
------------------------------------------------------------------------------
[tex]f(x)=7x.tg \alpha +7.(14-x)tg(60 ^\circ - \alpha)[/tex].

[tex]f'(x)=0 \Leftrightarrow 7tg \alpha -7 tg(60- \alpha)=0 \Leftrightarrow tg \alpha =tg(60- \alpha )[/tex].

Функцията [tex]tg \alpha[/tex] е растяща и непрекъсната в [tex]\alpha \in [0; \frac{ \pi }{2} )[/tex], сл. горния ред е еквивалентен на [tex]\alpha=60 ^\circ - \alpha \Leftrightarrow \alpha =30
^\circ[/tex].

Лесно се вижда, че при [tex]\alpha=30 ^\circ[/tex] точките [tex]B_1[/tex] и [tex]D_1[/tex] съвпадат (еднакви триъгълници), т.е. въпроснат точка е точно средата на диагонала [tex]AC[/tex] и съответно [tex]x=7[/tex], a четериъгълника [tex]ABCD[/tex] се явява ромб.

----------------------------------------------------------------------------

На вниманието на учениците:

Напълно коректно меже да замените обясненията в последния ми пост свързани с фукциите на много променливи, с написаното между пунктираните редове по-горе. В резулат ще получите доказателство изцяло въз основа на училишния материал. Може би единствено би било по-пълно и ясно (,по отношение разбирането на доказателството,) да добавите накои обяснения за записаното е скоби "еднакви триъгълници".

Частта за учителя Ви по математиак бе шега. Не я приемайте сериозно.