Най-малък сбор на диагонали в изпъкнал четириъгълник

[Гост]

Лицето на изпъкнал четириъгълник е 50. Колко е най-малкият възможнен сбор на диагоналите?

[ammornil]

Лицето на изпъкнал четириъгълник е 50. Колко е най-малкият възможнен сбор на диагоналите?

[tex]ABCD, \angle{DAB}<180^{\circ}, \angle{ABC}<180^{\circ}, \angle{BCD}<180^{\circ}, \angle{CDA}<180^{\circ}[/tex]
[tex]S=\frac{1}{2}\cdot{d_{1}}\cdot{d_{2}}\cdot{\sin{\angle{(d_{1},d_{2})}}}=50 \Rightarrow d_{1}\cdot{d_{2}}=\frac{100}{\sin{\angle{(d_{1},d_{2})}}}[/tex]
[tex]f(d_{i}) = d_{1}+d_{2}[/tex]

Не мисля, че има достатъчно информация за да се определи търсеният минимум. Инстинктивно си мисля, че от всички четириъгълници с еднаква площ, може би квадратът е този с най-малка обиколка и оттам може би с най-малък сбор на диагоналите, но не се сещам за доказателство на това твърдение. Ако отговорът на задачата е [tex]20[/tex] значи това твърдение следва да е доказуемо.

[nikola.topalov]

Ще използвам означенията на колегата ammornil: $$d_1+d_2\geq 2\sqrt{d_1d_2}=\dfrac{20}{\sqrt{\sin\measuredangle(d_1,d_2)}}\geq 20$$ Тоест минимум се достига, когато [tex]d_1=d_2[/tex] и [tex]d_1\perp d_2[/tex].

[Гост]

Благодаря Ви!

[ptj]

Подобни задачи почти винаги могат да се решават с неравенства между средните.