Система уравнения

[Гост]

20240218_114637.jpg (311.24 KiB) Прегледано 2747 пъти

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l} a^{3 } - 2 b^{3 } = 2 a^{2 }b - a b^{2 } \\ (a + 1)(b + 1) =10\end{array}[/tex]

Ще преработя първото уравнение:

[tex]a^{3 } - 2 b^{3 } = 2 a^{2 }b - a b^{2 } \Leftrightarrow[/tex]
[tex]a^{3 } - 2 b^{3 } - 2 a^{2 }b + a b^{2 }= 0 \Leftrightarrow ( a^{3 } - 2 a^{2 }b) + (a b^{2 }- 2 b^{3 }) = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]a^{2 }(a - 2b) + b^{2 } (a - 2b) = 0 \Leftrightarrow (a - 2b)( a^{2 } + b^{2 }) = 0[/tex]
[tex]a^{2 } + b^{2 } > 0 \Rightarrow a - 2b = 0[/tex]

Системата добива следния вид:

[tex]\begin{array}{|l} a - 2b = 0 \\ (a + 1)(b+1) = 10 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a = 2b \\ (a + 1)(b+ 1) = 10\end{array}[/tex]

Замествам и получавам:
[tex](2b + 1)(b+ 1) = 10 \Leftrightarrow 2 b^{2 } + 3b - 9 = 0 ,D=81 , b_{1,2 } = \frac{-3 \pm 9}{4}[/tex]
[tex]b_{1 } = \frac{3}{2} \Rightarrow a_{1 } = 3[/tex]
[tex]b_{2 } = -3 \Rightarrow a_{2 } = -6[/tex]

Решенията на системата са наредените двойки $(a,b)$ както следва:
$$(3 . \frac{3}{2} ) ; (-6,-3)$$

[Гост]

Благодаря!