Здравейте, ще може ли помощ за няколко задачи?

[Гост]

1. От всички правоголници с периметьр 32 намерете този, който има най-голямо лице. Намерете това лице.

2. Представете числото 12 като сума на две положителни сьбираеми така, че сборьт от квадрата на едното и учетвореното друго да е взможно най-мальк. Намерете този сбор.


3. Представете числото 18 като сума на две положителни сьбираеми така, че произведението им да боде възможно най-голямо. Намерете това произведение.

4. Отсечка АВ има дължина 14 и е разделена от точките М и N на три части сьс следните свойства: АМ:MN = 1:2 а сборьт от лицата на квадратите сьс страни АМ, MN и NB е възможно най-мальк. Намерете AM, MN, NB и сборьт от лицата на квадратите.

[Davids]

1. $2(a+b) = 32$, търсим максимума на $ab$.
$a + b = 16$, значи $a = 16 - b$ и търсим максимума на $b(16-b) = - b^2 + 16b$.

Върхът на тази парабола се достига при $b = - \frac{16}{2*(-1)} = 8$, значи $a = 8$.

Максималното лице е $64$.

[Davids]

2.
$a + b = 12$, където $a, b>0$, и търсим минимума на $a^2 + 4b$.

Отново, представяме $b = 12-a$ и значи търсим минимума на $a^2 - 4a + 48$. Дъното на параболата се достига при $a = - \frac{-4}{2} = 2$ и тъй $b = 10$.

Търсеният сбор е $2^2 + 4\cdot10 = 44$.

[Евва]

4 зад. Нека AM=a ,MN=2a и тогава NB= 14-3a
Дадено е ,че сборът A =[tex]a^{2 } +(2a)^{2 } + (14-3a)^{2 }[/tex] е минимален .

Скрит текст: покажи

При кое а се достига това ?

a=?
A=[tex]a^{2 } +4 a^{2 } +196-84a+9 a^{2 }[/tex]

A=14[tex]a^{2 }[/tex]-84a+196
[tex]A_{min }[/tex] ще получим при A' =0

A' =(14[tex]a^{2 }[/tex])' + ( -84a)' +196'

A' =14.2a-84.1+ 0 намерихме A' =28a-84
28а-84 =0 ; a=3
При а=3 имаме AM=3 ,MN=6 и NB=5

[tex]AM^{2 } +MN^{2 } + NB^{2 } = 3^{2 } + 6^{2 } +5^{2 }[/tex] =70